Google
Câu hỏi: Cho phương trình: $\sin x\left( 2-\cos 2x \right)-2\left( 2{{\cos }^{3}}x+m+1 \right)\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2}=3\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2}.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $m$ để phương trình trên có đúng 1 nghiệm $x\in \left[ 0;\dfrac{2\pi }{3} \right)?$
A. 0
B. 1
C. 4
D. 3
A. 0
B. 1
C. 4
D. 3
Cách giải:
Ta có:
$\sin x\left( 2-\cos 2x \right)-2\left( 2{{\cos }^{3}}x+m+1 \right)\sqrt{2{{\cos }^{2}}x+m+2}=3\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2}$
$\Leftrightarrow \sin x\left( 1+2{{\sin }^{2}}x \right)=2\left( 2{{\cos }^{3}}x+m+2 \right)\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2}+\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2}$
$\Leftrightarrow 2{{\sin }^{3}}x+\sin x=2{{\left( 2\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2} \right)}^{3}}+\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2}\left( 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( u \right)=2{{u}^{3}}+u;$ với $u\ge 0$ ta có $f'\left( u \right)=6{{u}^{2}}+1>0,\forall u\ge 0,$ nên hàm số $f\left( u \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right).$
Bởi vậy: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( \sin x \right)=f\left( \sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2} \right)\Leftrightarrow \sin x=\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2}\text{ }\left( 2 \right)$
Với $x\in \left[ 0;\dfrac{2\pi }{3} \right)$ thì $\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x=2{{\cos }^{3}}x+m+2\Leftrightarrow -2{{\cos }^{3}}x-{{\cos }^{2}}x-1=m\text{ }\left( 3 \right)$
Đặt $t=\cos x,$ phương trình (3) trở thành $-2{{t}^{3}}-{{t}^{2}}-1=m\text{ }\left( 4 \right)$
Ta thấy, với mỗi $t\in \left( -\dfrac{1}{2};1 \right]$ thì phương trình $\cos x=t$ cho ta một nghiệm $x\in \left[ 0;\dfrac{2\pi }{3} \right)$ Do đó, để phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm $x\in \left[ 0;\dfrac{2\pi }{3} \right)$ điều kiện cần và đủ là phương trình (4) có đúng một nghiệm $t\in \left( -\dfrac{1}{2};1 \right].$
Xét hàm số $g\left( t \right)=-2{{t}^{3}}-{{t}^{2}}-1$ với $t\in \left( -\dfrac{1}{2};1 \right].$
Ta có $g'\left( t \right)=-6{{t}^{2}}-2t,g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=-\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right..$
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra, phương trình (4) có đúng một nghiệm $t\in \left( -\dfrac{1}{2};1 \right]$ khi và chỉ khi $\left[ \begin{aligned}
& -4\le m<-\dfrac{28}{27} \\
& m=-1 \\
\end{aligned} \right..$
Hay, các giá trị nguyên của m để phương trình trên có đúng 1 nghiệm $x\in \left[ 0;\dfrac{2\pi }{3} \right)$ là $\left\{ -4;-3;-2;-1 \right\}.$ Vậy có 4
giá trị nguyên âm m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có:
$\sin x\left( 2-\cos 2x \right)-2\left( 2{{\cos }^{3}}x+m+1 \right)\sqrt{2{{\cos }^{2}}x+m+2}=3\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2}$
$\Leftrightarrow \sin x\left( 1+2{{\sin }^{2}}x \right)=2\left( 2{{\cos }^{3}}x+m+2 \right)\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2}+\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2}$
$\Leftrightarrow 2{{\sin }^{3}}x+\sin x=2{{\left( 2\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2} \right)}^{3}}+\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2}\left( 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( u \right)=2{{u}^{3}}+u;$ với $u\ge 0$ ta có $f'\left( u \right)=6{{u}^{2}}+1>0,\forall u\ge 0,$ nên hàm số $f\left( u \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;+\infty \right).$
Bởi vậy: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( \sin x \right)=f\left( \sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2} \right)\Leftrightarrow \sin x=\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2}\text{ }\left( 2 \right)$
Với $x\in \left[ 0;\dfrac{2\pi }{3} \right)$ thì $\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x=2{{\cos }^{3}}x+m+2\Leftrightarrow -2{{\cos }^{3}}x-{{\cos }^{2}}x-1=m\text{ }\left( 3 \right)$
Đặt $t=\cos x,$ phương trình (3) trở thành $-2{{t}^{3}}-{{t}^{2}}-1=m\text{ }\left( 4 \right)$
Ta thấy, với mỗi $t\in \left( -\dfrac{1}{2};1 \right]$ thì phương trình $\cos x=t$ cho ta một nghiệm $x\in \left[ 0;\dfrac{2\pi }{3} \right)$ Do đó, để phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm $x\in \left[ 0;\dfrac{2\pi }{3} \right)$ điều kiện cần và đủ là phương trình (4) có đúng một nghiệm $t\in \left( -\dfrac{1}{2};1 \right].$
Xét hàm số $g\left( t \right)=-2{{t}^{3}}-{{t}^{2}}-1$ với $t\in \left( -\dfrac{1}{2};1 \right].$
Ta có $g'\left( t \right)=-6{{t}^{2}}-2t,g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=-\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right..$
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra, phương trình (4) có đúng một nghiệm $t\in \left( -\dfrac{1}{2};1 \right]$ khi và chỉ khi $\left[ \begin{aligned}
& -4\le m<-\dfrac{28}{27} \\
& m=-1 \\
\end{aligned} \right..$
Hay, các giá trị nguyên của m để phương trình trên có đúng 1 nghiệm $x\in \left[ 0;\dfrac{2\pi }{3} \right)$ là $\left\{ -4;-3;-2;-1 \right\}.$ Vậy có 4
giá trị nguyên âm m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C.