Cho phương trình: $\sin x\left( 2-\cos 2x \right)-2\left( 2{{\cos }^{3}}x+m+1 \right)\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2}=3\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2}.$ Có...

Cách giải:
Ta có:



Xét hàm số với ta có nên hàm số đồng biến trên
Bởi vậy:
Với thì
Đặt phương trình (3) trở thành
Ta thấy, với mỗi thì phương trình cho ta một nghiệm Do đó, để phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm điều kiện cần và đủ là phương trình (4) có đúng một nghiệm
Xét hàm số với
Ta có
Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra, phương trình (4) có đúng một nghiệm khi và chỉ khi
Hay, các giá trị nguyên của m để phương trình trên có đúng 1 nghiệm là Vậy có 4
giá trị nguyên âm m thỏa mãn yêu cầu bài toán.