Google
Câu hỏi: Cho phương trình: ${{\sin }^{3}}x+2\sin x+3=\left( 2{{\cos }^{3}}x+m \right)\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m-2}+2{{\cos }^{3}}x+{{\cos }^{2}}x+m.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình trên có đúng một nghiệm $x\in \left[ 0;\dfrac{2\pi }{3} \right)?$
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
${{\sin }^{2}}x+2\sin x+3=\left( 2{{\cos }^{3}}x+m \right)\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m-2}+2{{\cos }^{3}}x+{{\cos }^{2}}x+m$
$\Leftrightarrow {{\sin }^{3}}x+2\sin x+1-{{\cos }^{2}}x+2=\left( 2{{\cos }^{3}}x+m \right)\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m-2}+2{{\cos }^{3}}x+m$
$\Leftrightarrow {{\sin }^{3}}x+2\sin x+{{\sin }^{2}}x+2=\left( 2{{\cos }^{3}}x+m \right)\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m-2}+2{{\cos }^{3}}x+m$
Đặt $u=\sqrt{2{{\cos }^{3}}+m-2}\Rightarrow {{u}^{2}}=2{{\cos }^{3}}x+m-2$
Phương trình trở thành:
${{\sin }^{3}}x+2\sin x+{{\sin }^{2}}x+2=\left( {{u}^{2}}+2 \right)u+{{u}^{2}}+2$
${{\sin }^{3}}x+2\sin x+{{\sin }^{2}}x+2={{u}^{3}}+{{u}^{2}}+2u+2\left( 1 \right)$
Xét hàm đặc trưng: $f\left( t \right)={{t}^{3}}+{{t}^{2}}+2t+2$
$f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+2t+2>0,\forall t\in \mathbb{R}\Rightarrow f\left( t \right)$ là hàm đồng biến
Phương trình $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( \sin x \right)=f\left( u \right)\Leftrightarrow u=\sin x$
Với $u=\sin x$ ta có $\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m-2}=\sin x\Leftrightarrow 2{{\cos }^{3}}x+m-2={{\sin }^{2}}x$
$\Leftrightarrow -m=2{{\cos }^{3}}x+{{\cos }^{2}}x-1$
Đặt $X=\cos x$ phương trình trở thành $-m=2{{X}^{3}}+{{X}^{2}}-1\left( 2 \right)$
Với $x\in \left[ 0;\dfrac{3\pi }{2} \right)\Rightarrow X\in \left( -\dfrac{1}{2};1 \right].$
Ứng với mỗi $X\in \left( -\dfrac{1}{2};1 \right]$ thì có duy nhất một giá trị của $x\in \left[ 0;\dfrac{2\pi }{3} \right)$ do đó phương trình ban đầu có đúng một nghiệm $x\in \left[ 0;\dfrac{2\pi }{3} \right)$ thì phương trình (2) có duy nhất một nghiệm thuộc $X\in \left( -\dfrac{1}{2};1 \right]$
Xét hàm $g\left( X \right)=2{{X}^{3}}+{{X}^{2}}-1$
$g'\left( X \right)=6{{X}^{2}}+2X;g'\left( X \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& X=0 \\
& X=-\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có phương trình (2) có duy nhất một nghiệm thuộc $X\in \left( -\dfrac{1}{2};1 \right]$ khi và chỉ khi $\left[ \begin{aligned}
& m=-3 \\
& -\dfrac{80}{27}<m\le 0 \\
\end{aligned} \right.$
Mà $m$ nguyên nên $m\in \left\{ -3;-2;-1;0 \right\}$ do vậy có 4 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn bài toán.
$\Leftrightarrow {{\sin }^{3}}x+2\sin x+1-{{\cos }^{2}}x+2=\left( 2{{\cos }^{3}}x+m \right)\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m-2}+2{{\cos }^{3}}x+m$
$\Leftrightarrow {{\sin }^{3}}x+2\sin x+{{\sin }^{2}}x+2=\left( 2{{\cos }^{3}}x+m \right)\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m-2}+2{{\cos }^{3}}x+m$
Đặt $u=\sqrt{2{{\cos }^{3}}+m-2}\Rightarrow {{u}^{2}}=2{{\cos }^{3}}x+m-2$
Phương trình trở thành:
${{\sin }^{3}}x+2\sin x+{{\sin }^{2}}x+2=\left( {{u}^{2}}+2 \right)u+{{u}^{2}}+2$
${{\sin }^{3}}x+2\sin x+{{\sin }^{2}}x+2={{u}^{3}}+{{u}^{2}}+2u+2\left( 1 \right)$
Xét hàm đặc trưng: $f\left( t \right)={{t}^{3}}+{{t}^{2}}+2t+2$
$f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+2t+2>0,\forall t\in \mathbb{R}\Rightarrow f\left( t \right)$ là hàm đồng biến
Phương trình $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( \sin x \right)=f\left( u \right)\Leftrightarrow u=\sin x$
Với $u=\sin x$ ta có $\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m-2}=\sin x\Leftrightarrow 2{{\cos }^{3}}x+m-2={{\sin }^{2}}x$
$\Leftrightarrow -m=2{{\cos }^{3}}x+{{\cos }^{2}}x-1$
Đặt $X=\cos x$ phương trình trở thành $-m=2{{X}^{3}}+{{X}^{2}}-1\left( 2 \right)$
Với $x\in \left[ 0;\dfrac{3\pi }{2} \right)\Rightarrow X\in \left( -\dfrac{1}{2};1 \right].$
Ứng với mỗi $X\in \left( -\dfrac{1}{2};1 \right]$ thì có duy nhất một giá trị của $x\in \left[ 0;\dfrac{2\pi }{3} \right)$ do đó phương trình ban đầu có đúng một nghiệm $x\in \left[ 0;\dfrac{2\pi }{3} \right)$ thì phương trình (2) có duy nhất một nghiệm thuộc $X\in \left( -\dfrac{1}{2};1 \right]$
Xét hàm $g\left( X \right)=2{{X}^{3}}+{{X}^{2}}-1$
$g'\left( X \right)=6{{X}^{2}}+2X;g'\left( X \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& X=0 \\
& X=-\dfrac{1}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có phương trình (2) có duy nhất một nghiệm thuộc $X\in \left( -\dfrac{1}{2};1 \right]$ khi và chỉ khi $\left[ \begin{aligned}
& m=-3 \\
& -\dfrac{80}{27}<m\le 0 \\
\end{aligned} \right.$
Mà $m$ nguyên nên $m\in \left\{ -3;-2;-1;0 \right\}$ do vậy có 4 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án A.