Cho phương trình: ${\sin }^{3}x+2\sin x+3=(2{\cos }^{3}x+m)\sqrt{2{\cos }^{3}x+m-2}+2{\cos }^{3}x+{\cos }^{2}x+m.$ Có bao...

${\sin }^{2}x+2\sin x+3=(2{\cos }^{3}x+m)\sqrt{2{\cos }^{3}x+m-2}+2{\cos }^{3}x+{\cos }^{2}x+m$
$\iff {\sin }^{3}x+2\sin x+1-{\cos }^{2}x+2=(2{\cos }^{3}x+m)\sqrt{2{\cos }^{3}x+m-2}+2{\cos }^{3}x+m$
$\iff {\sin }^{3}x+2\sin x+{\sin }^{2}x+2=(2{\cos }^{3}x+m)\sqrt{2{\cos }^{3}x+m-2}+2{\cos }^{3}x+m$
Đặt $u=\sqrt{2{\cos }^3+m-2}\Rightarrow u^2=2{\cos }^{3}x+m-2$
Phương trình trở thành:
${\sin }^{3}x+2\sin x+{\sin }^{2}x+2=(u^2+2)u+u^2+2$
${\sin }^{3}x+2\sin x+{\sin }^{2}x+2=u^3+u^2+2u+2\left(1\right)$
Xét hàm đặc trưng: $f\left(t\right)=t^3+t^2+2t+2$
$f^{\prime }\left(t\right)=3t^2+2t+2>0,\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R}\Rightarrow f\left(t\right)$ là hàm đồng biến
Phương trình $\left(1\right)\iff f(\sin x)=f\left(u\right)\iff u=\sin x$
Với $u=\sin x$ ta có $\sqrt{2{\cos }^{3}x+m-2}=\sin x\iff 2{\cos }^{3}x+m-2={\sin }^{2}x$
$\iff -m=2{\cos }^{3}x+{\cos }^{2}x-1$
Đặt $X=\cos x$ phương trình trở thành $-m=2X^3+X^2-1\left(2\right)$
Với $x\in [0;{\displaystyle \frac{3\pi }{2}})\Rightarrow X\in (-{\displaystyle \frac{1}{2}};1].$
Ứng với mỗi $X\in (-{\displaystyle \frac{1}{2}};1]$ thì có duy nhất một giá trị của $x\in [0;{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})$ do đó phương trình ban đầu có đúng một nghiệm $x\in [0;{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})$ thì phương trình (2) có duy nhất một nghiệm thuộc $X\in (-{\displaystyle \frac{1}{2}};1]$
Xét hàm $g\left(X\right)=2X^3+X^2-1$
$g^{\prime }\left(X\right)=6X^2+2X;g^{\prime }\left(X\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& X=0\\ & X=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có phương trình (2) có duy nhất một nghiệm thuộc $X\in (-{\displaystyle \frac{1}{2}};1]$ khi và chỉ khi $[\begin{array}{rl}& m=-3\\ & -{\displaystyle \frac{80}{27}}<m\le 0\end{array}$
Mà $m$ nguyên nên $m\in \{-3;-2;-1;0\}$ do vậy có 4 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn bài toán.