Cho phương trình $\sin 2x-\cos 2x+|\sin x+\cos x|-\sqrt{2{\cos }^{2}x+m}-m=0.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để...

Điều kiện: $2{\cos }^{2}x+m\ge 0$
Ta có:
$\sin 2x-\cos 2x+|\sin x+\cos x|-\sqrt{2{\cos }^{2}x+m}-m=0$
$2\sin x.\cos x-2{\cos }^{2}x+1+|\sin x+\cos x|-\sqrt{2{\cos }^{2}x+m}-m=0$
$\iff {(\sin x+\cos x)}^2+|\sin x+\cos x|=2{\cos }^{2}x+m+\sqrt{2{\cos }^{2}x+m}(\ast ).$
Đặt $f\left(t\right)=t^2+t;$ với $t\ge 0.$ Ta có $f^{\prime }\left(t\right)=2t+1>0;\mathrm{\forall }t\ge 0$
Phương trình (*) có dạng:
$f\left(|\sin x+\cos x|\right)=f\left(\sqrt{2{\cos }^{2}x+m}\right)$
$\iff |\sin x+\cos x|=\sqrt{2{\cos }^{2}x+m}$
$\iff 1+\sin 2x=2{\cos }^{2}x+m$
$\iff \sin 2x-\cos 2x=m.$
Điều kiện có nghiệm thực của phương trình này là: $m^2\le 2\iff -\sqrt{2}\le m\le \sqrt{2}.$
Do đó có 3 giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình có nghiệm thực là $\{-1;0;1\}.$