Cho phương trình $\sin 2x-\cos 2x+\left| \sin x+\cos x \right|-\sqrt{2{{\cos }^{2}}x+m}-m=0.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để...

Điều kiện: $2{{\cos }^{2}}x+m\ge 0$
Ta có:
$\sin 2x-\cos 2x+\left| \sin x+\cos x \right|-\sqrt{2{{\cos }^{2}}x+m}-m=0$
$2\sin x.\cos x-2{{\cos }^{2}}x+1+\left| \sin x+\cos x \right|-\sqrt{2{{\cos }^{2}}x+m}-m=0$
$\Leftrightarrow {{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}+\left| \sin x+\cos x \right|=2{{\cos }^{2}}x+m+\sqrt{2{{\cos }^{2}}x+m}\left( * \right).$
Đặt $f\left( t \right)={{t}^{2}}+t;$ với $t\ge 0.$ Ta có $f'\left( t \right)=2t+1>0;\forall t\ge 0$
Phương trình (*) có dạng:
$f\left( \left| \sin x+\cos x \right| \right)=f\left( \sqrt{2{{\cos }^{2}}x+m} \right)$
$\Leftrightarrow \left| \sin x+\cos x \right|=\sqrt{2{{\cos }^{2}}x+m}$
$\Leftrightarrow 1+\sin 2x=2{{\cos }^{2}}x+m$
$\Leftrightarrow \sin 2x-\cos 2x=m.$
Điều kiện có nghiệm thực của phương trình này là: ${{m}^{2}}\le 2\Leftrightarrow -\sqrt{2}\le m\le \sqrt{2}.$
Do đó có 3 giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình có nghiệm thực là $\left\{ -1;0;1 \right\}.$