Google
Câu hỏi: Cho phương trình $m\ln \left( x+1 \right)-x-2=0$. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn $0<{{x}_{1}}<2<4<{{x}_{2}}$ là khoảng $\left( a;+\infty \right).$ Khi đó $a$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 3,7;3,8 \right).$
B. $\left( 3,6;3,7 \right).$
C. $\left( 3,8;3,9 \right).$
D. $\left( 3,5;3,6 \right).$
A. $\left( 3,7;3,8 \right).$
B. $\left( 3,6;3,7 \right).$
C. $\left( 3,8;3,9 \right).$
D. $\left( 3,5;3,6 \right).$
+ ĐK $x>-1$.
+ Phương trình: $m\ln \left( x+1 \right)-x-2=0$ $\Leftrightarrow m=\dfrac{x+2}{\ln \left( x+1 \right)}$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x+2}{\ln \left( x+1 \right)}$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{\ln \left( x+1 \right)-\dfrac{x+2}{x+1}}{{{\ln }^{2}}\left( x+1 \right)}$.
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \ln \left( x+1 \right)-\dfrac{x+2}{x+1}=0$ $\left( * \right)$.
Xét hàm số $h\left( x \right)=\ln \left( x+1 \right)-\dfrac{x+2}{x+1}$ ; có ${h}'\left( x \right)=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}>0$, $\forall x>0$.
Suy ra $h\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$, do đó phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ có không quá một nghiệm, mà ${f}'\left( 2 \right).{f}'\left( 4 \right)<0$ và ${f}'\left( x \right)$ là hàm số liên tục trên đoạn $\left[ 0;4 \right]$ nên phương trình $\left( * \right)$ có duy nhất một nghiệm ${{x}_{\text{o}}}\in \left( 2;4 \right)$.
Ta có BBT:
Từ BBT ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn $0<{{x}_{1}}<2<4<{{x}_{2}}$ khi và chỉ khi $m>\dfrac{6}{\ln 5}\Leftrightarrow m\in \left( \dfrac{6}{\ln 5};+\infty \right)$.
Vậy $a=\dfrac{6}{\ln 5}\in \left( 3,7;3,8 \right)$.
+ Phương trình: $m\ln \left( x+1 \right)-x-2=0$ $\Leftrightarrow m=\dfrac{x+2}{\ln \left( x+1 \right)}$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x+2}{\ln \left( x+1 \right)}$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{\ln \left( x+1 \right)-\dfrac{x+2}{x+1}}{{{\ln }^{2}}\left( x+1 \right)}$.
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \ln \left( x+1 \right)-\dfrac{x+2}{x+1}=0$ $\left( * \right)$.
Xét hàm số $h\left( x \right)=\ln \left( x+1 \right)-\dfrac{x+2}{x+1}$ ; có ${h}'\left( x \right)=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}>0$, $\forall x>0$.
Suy ra $h\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$, do đó phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ có không quá một nghiệm, mà ${f}'\left( 2 \right).{f}'\left( 4 \right)<0$ và ${f}'\left( x \right)$ là hàm số liên tục trên đoạn $\left[ 0;4 \right]$ nên phương trình $\left( * \right)$ có duy nhất một nghiệm ${{x}_{\text{o}}}\in \left( 2;4 \right)$.
Ta có BBT:
Từ BBT ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn $0<{{x}_{1}}<2<4<{{x}_{2}}$ khi và chỉ khi $m>\dfrac{6}{\ln 5}\Leftrightarrow m\in \left( \dfrac{6}{\ln 5};+\infty \right)$.
Vậy $a=\dfrac{6}{\ln 5}\in \left( 3,7;3,8 \right)$.
Đáp án A.