Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}-6x+6 \right)={{3}^{{{y}^{2}}}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}+2x-1.$ Hỏi có bao nhiêu cặp $\left( x;y \right);0<x<2021;y\in \mathbb{N}$ thỏa mãn phương trình đã cho
A. 5
B. 6
C. 4
D. 7
A. 5
B. 6
C. 4
D. 7
${{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}-6x+6 \right)={{3}^{{{y}^{2}}}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}+2x-1\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)+{{x}^{2}}-2x+2={{y}^{2}}+{{3}^{{{y}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)+{{3}^{{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)}}={{y}^{2}}+{{3}^{{{y}^{2}}}}.$
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+{{3}^{t}};f'\left( t \right)=1+{{3}^{t}}\ln 3>0,\forall t$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$ Vậy phương trình đã cho tương đương với ${{y}^{2}}={{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)\Leftrightarrow {{y}^{2}}={{\log }_{3}}\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+1 \right].$
Vì $0<x<2021$ nên $-1<x-1<2020\Rightarrow 0<{{\left( x-1 \right)}^{2}}<{{2020}^{2}}\Leftrightarrow 1<{{\left( x-1 \right)}^{2}}+1<{{2020}^{2}}+1$
$\Leftrightarrow 0<{{y}^{2}}<{{\log }_{3}}\left( {{2020}^{2}}+1 \right)\overset{y\ge 0}{\mathop{\Leftrightarrow }} 0<y<\sqrt{{{\log }_{3}}\left( {{2020}^{2}}+1 \right)}\approx 3,7.$
Vì $y\in \mathbb{N}$ nên $y\in \left\{ 1;2;3 \right\}.$ Với mỗi giá trị của $y>0.$ Ta có 2 giá trị của $x$ thỏa mãn $x=1\pm \sqrt{{{3}^{{{y}^{2}}}}-1}.$
Vậy có 6 cặp số $\left( x;y \right)$ thỏa mãn đề bài.
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)+{{3}^{{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)}}={{y}^{2}}+{{3}^{{{y}^{2}}}}.$
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+{{3}^{t}};f'\left( t \right)=1+{{3}^{t}}\ln 3>0,\forall t$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$ Vậy phương trình đã cho tương đương với ${{y}^{2}}={{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)\Leftrightarrow {{y}^{2}}={{\log }_{3}}\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+1 \right].$
Vì $0<x<2021$ nên $-1<x-1<2020\Rightarrow 0<{{\left( x-1 \right)}^{2}}<{{2020}^{2}}\Leftrightarrow 1<{{\left( x-1 \right)}^{2}}+1<{{2020}^{2}}+1$
$\Leftrightarrow 0<{{y}^{2}}<{{\log }_{3}}\left( {{2020}^{2}}+1 \right)\overset{y\ge 0}{\mathop{\Leftrightarrow }} 0<y<\sqrt{{{\log }_{3}}\left( {{2020}^{2}}+1 \right)}\approx 3,7.$
Vì $y\in \mathbb{N}$ nên $y\in \left\{ 1;2;3 \right\}.$ Với mỗi giá trị của $y>0.$ Ta có 2 giá trị của $x$ thỏa mãn $x=1\pm \sqrt{{{3}^{{{y}^{2}}}}-1}.$
Vậy có 6 cặp số $\left( x;y \right)$ thỏa mãn đề bài.
Đáp án B.