Cho phương trình $\log _{3}^{2}x-\left( 2m+1 \right){{\log }_{3}}x+{{m}^{2}}+m=0.$ Gọi $S$ là tập họp các giá trị của tham số thực $m$ để phương...

Đặt $t={{\log }_{3}}x.$ Khi đó phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-\left( 2m+1 \right)t+{{m}^{2}}+m=0\left( * \right).$
Nhận xét:Ứng với mỗi nghiệm $t$ của phương trình $\left( * \right)$ có một nghiệm $x>0.$
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow \Delta ={{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+m \right)=1>0.$
Vậy phương trình $\left( * \right)$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m.$
Khi đó ${{t}_{1}}=\dfrac{2m+1+1}{2}=m+1\Rightarrow {{x}_{1}}={{3}^{m+1}};{{t}_{2}}=\dfrac{2m+1-1}{2}=m\Rightarrow {{x}_{2}}={{3}^{m}}$ với ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}.$
Theo đề bài
$\left( {{x}_{1}}+1 \right)\left( {{x}_{2}}+3 \right)=48\Leftrightarrow \left( {{3}^{m}}+1 \right)\left( {{3}^{m+1}}+3 \right)=48\Leftrightarrow {{3.3}^{2m}}+{{6.3}^{m}}-45=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{3}^{m}}=3 \\
& {{3}^{m}}=-5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=1.$
Kết luận: Số phần tử của tập $S$ là 1.