Cho phương trình $\log _{3}^{2}\left( 3x \right)-\left( m+2 \right){{\log }_{3}}x+2m-5=0$ ( $m$ là tham số thực). Tập hợp tất cả các giá trị $m$...

Phương pháp:
- Đặt $t={{\log }_{3}}x.$ Tìm khoảng giá trị $t\in \left[ a;b \right].$
- Đưa bài toán trở thành tìm $m$ để phương trình bậc 2 ẩn $t$ có 2 nghiệm phân biệt thuộc $\left[ a;b \right].$
- Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ẩn $t$ có 2 nghiệm phân biệt, sau đó giải tìm hai nghiệm theo $m.$
- Cho các nghiệm đã tìm được thuộc $\left[ a;b \right]$ và tìm $m.$
Cách giải:
Ta có:
$\log _{3}^{2}\left( 3x \right)-\left( m+2 \right){{\log }_{3}}x+2m-5=0$
$\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{3}}x+1 \right)}^{2}}-\left( m+2 \right){{\log }_{3}}x+2m-5=0$
$\Leftrightarrow \log _{3}^{2}x-m{{\log }_{3}}x+2m-4=0\left( * \right)$
Đặt $t={{\log }_{3}}x,$ với $x\in \left[ 9;27 \right]\Rightarrow t\in \left[ 2;3 \right],$ phương trình $\left( * \right)$ phải có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}\in \left[ 2;3 \right].$
Ta có $\Delta ={{m}^{2}}-4\left( 2m-4 \right)>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+16>0\Leftrightarrow {{\left( m-4 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 4.$
Khi đó (**) có 2 nghiệm phân biệt $\left[ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=\dfrac{m+m-4}{2}=m \\
& {{t}_{2}}=\dfrac{m-m+4}{2}=2\in \left[ 2;3 \right] \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $m\in \left[ 2;3 \right].$