Google
Câu hỏi: Cho phương trình $\log _{3}^{2}3x+{{\log }_{3}}x+m-1=0$ ( $m$ là tam số thực). Số giá trị nguyên của $m$ để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left( 0;1 \right).$
A. 1
B. 5
C. 2
D. 3
A. 1
B. 5
C. 2
D. 3
Điều kiện: $x>0.$
$\log _{3}^{2}3x+{{\log }_{3}}x+m-1=0\Leftrightarrow {{\left( 1+\log _{3}^{{}}x \right)}^{2}}+{{\log }_{3}}x+m-1=0$
Đặt ${{\log }_{3}}x=t.$ Với mỗi $x\in \left( 0;1 \right)$ thì có một giá trị $t\in \left( -\infty ;0 \right).$ Phương trình trở thành ${{\left( 1+t \right)}^{2}}+t+m-1=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+3t=-m.$
Xét hàm số $y={{t}^{2}}+3t$ trên $\left( -\infty ;0 \right),$ có $y'=2t+3.$
Từ bảng biến thiên ta có: $0>-m>-\dfrac{9}{4}\Leftrightarrow 0<m<\dfrac{9}{4}\overset{m\in \mathbb{Z}}{\mathop{\Leftrightarrow }} m\in \left\{ 1;2 \right\}.$
$\log _{3}^{2}3x+{{\log }_{3}}x+m-1=0\Leftrightarrow {{\left( 1+\log _{3}^{{}}x \right)}^{2}}+{{\log }_{3}}x+m-1=0$
Đặt ${{\log }_{3}}x=t.$ Với mỗi $x\in \left( 0;1 \right)$ thì có một giá trị $t\in \left( -\infty ;0 \right).$ Phương trình trở thành ${{\left( 1+t \right)}^{2}}+t+m-1=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+3t=-m.$
Xét hàm số $y={{t}^{2}}+3t$ trên $\left( -\infty ;0 \right),$ có $y'=2t+3.$
Từ bảng biến thiên ta có: $0>-m>-\dfrac{9}{4}\Leftrightarrow 0<m<\dfrac{9}{4}\overset{m\in \mathbb{Z}}{\mathop{\Leftrightarrow }} m\in \left\{ 1;2 \right\}.$
Đáp án C.