Cho phương trình ${{\log }_{2}}\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}...

Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}>0 \\
& x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}>0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow x\ge 1$
${{\log }_{2}}\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right).{{\log }_{2021}}\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)={{\log }_{a}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right) \left( 1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right).{{\log }_{2021}}2.{{\log }_{2}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)={{\log }_{a}}2.{{\log }_{2}}\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)=0 \left( 2 \right) \\
& {{\log }_{2}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)={{\log }_{a}}2021 \left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
- Ta có $\left( 2 \right)\Leftrightarrow x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}=1\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-1}=x-1\Leftrightarrow x=1$ (không thỏa mãn $x>3$ )
- Vậy phương trình đã cho có nghiệm lớn hơn 3 khi phương trình $\left( 3 \right)$ có nghiệm lớn hơn 3.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{\log }_{2}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)$ trên $\left( 3; +\infty \right)$
${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}>0, \forall x>3$. Suy ra hàm số đồng biến trên $\left( 3; +\infty \right)$.
Mặt khác hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 3; +\infty \right)$ ; $f\left( 3 \right)={{\log }_{2}}\left( 3+2\sqrt{2} \right)$ ; $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty $. Suy ra tập giá trị của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left( 3; +\infty \right)$ là $\left( {{\log }_{2}}\left( 3+2\sqrt{2} \right); +\infty \right)$.
Vậy phương trình $\left( 3 \right)$ có nghiệm lớn hơn 3 khi:
${{\log }_{a}}2021>3+2\sqrt{2}$ $\overset{a\in \left( 3; 25 \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }} \dfrac{1}{{{\log }_{2021}}a}>{{\log }_{2}}\left( 3+2\sqrt{2} \right)\Leftrightarrow 3<a<{{2021}^{\dfrac{1}{{{\log }_{2}}\left( 3+2\sqrt{2} \right)}}}\approx 19,94$.
Vậy có 16 giá trị nguyên của tham số $a$.