Cho phương trình ${{\log }_{2}}\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}...

Điều kiện: $\{\begin{array}{rl}& x-\sqrt{x^2-1}>0\\ & x+\sqrt{x^2-1}>0\end{array}$ $\iff x\ge 1$
${\log }_2(x-\sqrt{x^2-1}).{\log }_{2021}(x-\sqrt{x^2-1})={\log }_a(x+\sqrt{x^2-1})\left(1\right)$
$\iff {\log }_2(x-\sqrt{x^2-1}).{\log }_{2021}2.{\log }_2(x+\sqrt{x^2-1})={\log }_{a}2.{\log }_2(x-\sqrt{x^2-1})$
$\iff [\begin{array}{rl}& {\log }_2(x-\sqrt{x^2-1})=0\left(2\right)\\ & {\log }_2(x+\sqrt{x^2-1})={\log }_{a}2021\left(3\right)\end{array}$
- Ta có $\left(2\right)\iff x-\sqrt{x^2-1}=1\iff \sqrt{x^2-1}=x-1\iff x=1$ (không thỏa mãn $x>3$ )
- Vậy phương trình đã cho có nghiệm lớn hơn 3 khi phương trình $\left(3\right)$ có nghiệm lớn hơn 3.
Xét hàm số $f\left(x\right)={\log }_2(x+\sqrt{x^2-1})$ trên $(3;+\mathrm{\infty })$
$f^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}>0,\mathrm{\forall }x>3$. Suy ra hàm số đồng biến trên $(3;+\mathrm{\infty })$.
Mặt khác hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $[3;+\mathrm{\infty })$ ; $f\left(3\right)={\log }_2(3+2\sqrt{2})$ ; $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$. Suy ra tập giá trị của hàm số $f\left(x\right)$ trên $(3;+\mathrm{\infty })$ là $({\log }_2(3+2\sqrt{2});+\mathrm{\infty })$.
Vậy phương trình $\left(3\right)$ có nghiệm lớn hơn 3 khi:
${\log }_{a}2021>3+2\sqrt{2}$ $\stackrel{a\in (3;25)}{\iff }{\displaystyle \frac{1}{{\log }_{2021}a}}>{\log }_2(3+2\sqrt{2})\iff 3<a<{2021}^{{\displaystyle \frac{1}{{\log }_2(3+2\sqrt{2})}}}\approx 19,94$.
Vậy có 16 giá trị nguyên của tham số $a$.