Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{4}^{x}}+{{2}^{3x}}-8 \right)=x+m$. Giá trị của $m$ để phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng nằm trong khoảng nào sau đây?
A. $\left( -1;0 \right)$.
B. $\left( 0;2 \right)$.
C. $\left( 2;4 \right)$.
D. $\left( -4;-3 \right)$ /
A. $\left( -1;0 \right)$.
B. $\left( 0;2 \right)$.
C. $\left( 2;4 \right)$.
D. $\left( -4;-3 \right)$ /
Ta có ${{\log }_{2}}\left( {{4}^{x}}+{{2}^{3x}}+8 \right)=x+m\Leftrightarrow {{4}^{x}}+{{2}^{3x}}-8={{2}^{m}}{{.2}^{x}}$.
Đặt $t={{2}^{x}}\left( t>0 \right)$ khi đó ta có phương trình ${{t}^{3}}+{{t}^{2}}-{{2}^{m}}.t-8=0\left( * \right)$.
Phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{4}^{x}}+{{2}^{3x}}+8 \right)=x+m$ có ba nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ lập thành cấp số cộng hay ${{x}_{1}}+{{x}_{3}}=2{{x}_{2}}$.
Phương trình (*) có ba nghiệm dương ${{t}_{1}},{{t}_{2}},{{t}_{3}}$ thỏa ${{t}_{1}}.{{t}_{3}}=t_{2}^{2}$.
Theo định lý Vi-ét ta có ${{t}_{1}}.{{t}_{2}}.{{t}_{3}}=8\Rightarrow t_{2}^{3}=8\Rightarrow {{t}_{2}}=2$ thay vào (*) ta được $m=1$.
Đặt $t={{2}^{x}}\left( t>0 \right)$ khi đó ta có phương trình ${{t}^{3}}+{{t}^{2}}-{{2}^{m}}.t-8=0\left( * \right)$.
Phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{4}^{x}}+{{2}^{3x}}+8 \right)=x+m$ có ba nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ lập thành cấp số cộng hay ${{x}_{1}}+{{x}_{3}}=2{{x}_{2}}$.
Phương trình (*) có ba nghiệm dương ${{t}_{1}},{{t}_{2}},{{t}_{3}}$ thỏa ${{t}_{1}}.{{t}_{3}}=t_{2}^{2}$.
Theo định lý Vi-ét ta có ${{t}_{1}}.{{t}_{2}}.{{t}_{3}}=8\Rightarrow t_{2}^{3}=8\Rightarrow {{t}_{2}}=2$ thay vào (*) ta được $m=1$.
Đáp án B.