Cho phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{4}^{x}}+{{2}^{3x}}-8...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho phương trình

\log_{2} (4^{x} + 2^{3 x} - 8) = x + m

. Giá trị của

m

để phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng nằm trong khoảng nào sau đây?
A.

(- 1; 0)

.
B.

(0; 2)

.
C.

(2; 4)

.
D.

(- 4; - 3)

/

Ta có

\log_{2} (4^{x} + 2^{3 x} + 8) = x + m \Leftrightarrow 4^{x} + 2^{3 x} - 8 = 2^{m} {.2}^{x}

.
Đặt

t = 2^{x} (t > 0)

khi đó ta có phương trình

t^{3} + t^{2} - 2^{m} . t - 8 = 0 (*)

.
Phương trình

\log_{2} (4^{x} + 2^{3 x} + 8) = x + m

có ba nghiệm

x_{1}, x_{2}, x_{3}

lập thành cấp số cộng hay

x_{1} + x_{3} = 2 x_{2}

.
Phương trình (*) có ba nghiệm dương

t_{1}, t_{2}, t_{3}

thỏa

t_{1} . t_{3} = t_{2}^{2}

.
Theo định lý Vi-ét ta có

t_{1} . t_{2} . t_{3} = 8 \Rightarrow t_{2}^{3} = 8 \Rightarrow t_{2} = 2

thay vào (*) ta được

m = 1

.

Đáp án B.