Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{\log }_{2}}\left( 2x-m \right)={{4}^{x}}+m$ với $m$ là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left( -27;27 \right)$ sao cho phương trình trên có nghiệm?
A. 10
B. 26
C. 1
D. 53
A. 10
B. 26
C. 1
D. 53
Cách giải:
Điều kiện xác định: $x>\dfrac{m}{2}$
${{\log }_{2}}\left( 2x-m \right)={{4}^{x}}+m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2x-m \right)+2x-m={{4}^{x}}+2x\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2x-m \right)+2x-m={{2}^{2x}}+2x$
Xét hàm đặc trưng: $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t\Rightarrow f'\left( t \right)={{2}^{t}}.\ln 2+1>0.$ Do đó $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Khi đó: ${{\log }_{2}}\left( 2x-m \right)=2x\Leftrightarrow 2x-m={{2}^{2x}}\Leftrightarrow m=-{{4}^{x}}+2x$
Đặt $h\left( x \right)=-{{4}^{x}}+2x\Rightarrow h'\left( x \right)=-{{4}^{x}}\ln 4+2$
$h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=-{{\log }_{4}}\left( \ln 2 \right)$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có $m\le -0,91$ thì phương trình có nghiệm.
Kết hợp với điều kiện $m\in \left( -27;27 \right)$ ta được $-27<m\le -0,91$ ta có 26 giá trị của $m$ thỏa mãn.
Điều kiện xác định: $x>\dfrac{m}{2}$
${{\log }_{2}}\left( 2x-m \right)={{4}^{x}}+m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2x-m \right)+2x-m={{4}^{x}}+2x\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2x-m \right)+2x-m={{2}^{2x}}+2x$
Xét hàm đặc trưng: $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t\Rightarrow f'\left( t \right)={{2}^{t}}.\ln 2+1>0.$ Do đó $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Khi đó: ${{\log }_{2}}\left( 2x-m \right)=2x\Leftrightarrow 2x-m={{2}^{2x}}\Leftrightarrow m=-{{4}^{x}}+2x$
Đặt $h\left( x \right)=-{{4}^{x}}+2x\Rightarrow h'\left( x \right)=-{{4}^{x}}\ln 4+2$
$h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=-{{\log }_{4}}\left( \ln 2 \right)$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có $m\le -0,91$ thì phương trình có nghiệm.
Kết hợp với điều kiện $m\in \left( -27;27 \right)$ ta được $-27<m\le -0,91$ ta có 26 giá trị của $m$ thỏa mãn.
Đáp án B.