Cho phương trình $\log _{2}^{2}x-\left( 5m+1 \right){{\log }_{2}}x+4{{m}^{2}}+m=0.$ Biết phương trình có hai nghiệm phân biệt...

Điều kiện: $x>0.$
Đặt $t={{\log }_{2}}x,$ ta được phương trình
${{t}^{2}}-\left( 5m+1 \right)t+4{{m}^{2}}+m=0\left( * \right)$.
Ta có: $\Delta ={{\left( -5m-1 \right)}^{2}}-4\left( 4{{m}^{2}}+m \right)={{\left( 3m+1 \right)}^{2}}.$
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{\left( 3m+1 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne -\dfrac{1}{3}.$
Khi đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ${{t}_{1}}=\dfrac{5m+1+3m+1}{2}=4m+1,$ ${{t}_{2}}=\dfrac{5m+1-3m-1}{2}=m$ $\Rightarrow {{x}_{1}}={{2}^{4m+1}},{{x}_{2}}={{2}^{m}}.$
Theo bài, ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=165\Leftrightarrow {{2}^{4m+1}}+{{2}^{m}}=165\Leftrightarrow {{2.2}^{4m}}+{{2}^{m}}=165.$
Đặt $u={{2}^{m}}>0,$ ta có phương trình $2{{u}^{4}}+u-165=0\Leftrightarrow \left( u-3 \right)\left( 2{{u}^{3}}+6{{u}^{2}}+18u+55 \right)=0$ $\Leftrightarrow u=3$ (vì $2{{u}^{3}}+6{{u}^{2}}+18u+55>0\forall u>0)\Rightarrow {{2}^{m}}=3.$
Vậy $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\left| {{2.2}^{4m}}-{{2}^{m}} \right|=\left| {{2.3}^{4}}-3 \right|=159.$