Google
Câu hỏi: Cho phương trình $\log _{2}^{2}x+2m{{\log }_{2}}x+2m-2=0$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}\le 64{{x}_{2}}\le 4096{{x}_{1}}?$
A. 3.
B. 5.
C. 4.
D. Vô số.
A. 3.
B. 5.
C. 4.
D. Vô số.
Điều kiện: $x>0$
Đặt $t={{\log }_{2}}x.$ Phương trình trở thành: ${{t}^{2}}+2mt+2m-2=0\left( * \right).$
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thì (*) có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$
$\Rightarrow \Delta '>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m+2>0\Leftrightarrow \forall m\in \mathbb{R}.$ Khi đó: ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}=-2m,{{t}_{1}}{{t}_{2}}=2m-2.$
Ta có: ${{\log }_{2}}{{x}_{1}}={{t}_{1}},{{\log }_{2}}{{x}_{2}}={{t}_{2}}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}={{2}^{{{t}_{1}}}} \\
& {{x}_{2}}={{2}^{{{t}_{2}}}} \\
\end{aligned} \right..$
Từ điều kiện
${{x}_{1}}\le 64{{x}_{2}}\le 4096{{x}_{1}}.$
$\Leftrightarrow {{2}^{{{t}_{1}}}}\le {{2}^{6}}{{.2}^{{{t}_{2}}}}\le {{2}^{12}}{{.2}^{{{t}_{1}}}}\Leftrightarrow {{2}^{{{t}_{1}}}}\le {{2}^{6+{{t}_{2}}}}\le {{2}^{12+{{t}_{1}}}}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}-{{t}_{2}}\le 6 \\
& {{t}_{1}}-{{t}_{2}}\ge -6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left| {{t}_{1}}-{{t}_{2}} \right|\le 6$
$\Leftrightarrow {{\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)}^{2}}-4{{t}_{1}}{{t}_{2}}\le 36\Leftrightarrow {{\left( -2m \right)}^{2}}-4\left( 2m-2 \right)\le 36$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-7\le 0$
$\Leftrightarrow 1-2\sqrt{2}\le m\le 1+2\sqrt{2}$
Có 5 giá trị nguyên của $m\in \left[ 1-2\sqrt{2};1+2\sqrt{2} \right].$
Đặt $t={{\log }_{2}}x.$ Phương trình trở thành: ${{t}^{2}}+2mt+2m-2=0\left( * \right).$
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thì (*) có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$
$\Rightarrow \Delta '>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m+2>0\Leftrightarrow \forall m\in \mathbb{R}.$ Khi đó: ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}=-2m,{{t}_{1}}{{t}_{2}}=2m-2.$
Ta có: ${{\log }_{2}}{{x}_{1}}={{t}_{1}},{{\log }_{2}}{{x}_{2}}={{t}_{2}}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}={{2}^{{{t}_{1}}}} \\
& {{x}_{2}}={{2}^{{{t}_{2}}}} \\
\end{aligned} \right..$
Từ điều kiện
${{x}_{1}}\le 64{{x}_{2}}\le 4096{{x}_{1}}.$
$\Leftrightarrow {{2}^{{{t}_{1}}}}\le {{2}^{6}}{{.2}^{{{t}_{2}}}}\le {{2}^{12}}{{.2}^{{{t}_{1}}}}\Leftrightarrow {{2}^{{{t}_{1}}}}\le {{2}^{6+{{t}_{2}}}}\le {{2}^{12+{{t}_{1}}}}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}-{{t}_{2}}\le 6 \\
& {{t}_{1}}-{{t}_{2}}\ge -6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left| {{t}_{1}}-{{t}_{2}} \right|\le 6$
$\Leftrightarrow {{\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)}^{2}}-4{{t}_{1}}{{t}_{2}}\le 36\Leftrightarrow {{\left( -2m \right)}^{2}}-4\left( 2m-2 \right)\le 36$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-7\le 0$
$\Leftrightarrow 1-2\sqrt{2}\le m\le 1+2\sqrt{2}$
Có 5 giá trị nguyên của $m\in \left[ 1-2\sqrt{2};1+2\sqrt{2} \right].$
Đáp án B.