Cho phương trình $\log_{2}^{2} x + 2 m \log_{2} x + 2 m - 2 = 0$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình đã cho có hai...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Cho phương trình

\log_{2}^{2} x + 2 m \log_{2} x + 2 m - 2 = 0

với

m

là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m

để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

x_{1}, x_{2}

thỏa mãn

x_{1} \leq 64 x_{2} \leq 4096 x_{1} ?

A. 3.
B. 5.
C. 4.
D. Vô số.

Điều kiện:

x > 0

Đặt

t = \log_{2} x .

Phương trình trở thành:

t^{2} + 2 m t + 2 m - 2 = 0 (*) .

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

x_{1}, x_{2}

thì (*) có 2 nghiệm phân biệt

t_{1}, t_{2}

\Rightarrow Δ^{'} > 0 \Leftrightarrow m^{2} - 2 m + 2 > 0 \Leftrightarrow \forall m \in R .

Khi đó:

t_{1} + t_{2} = - 2 m, t_{1} t_{2} = 2 m - 2.

Ta có:

\log_{2} x_{1} = t_{1}, \log_{2} x_{2} = t_{2} \Rightarrow {\begin{aligned} x_{1} = 2^{t_{1}} \\ x_{2} = 2^{t_{2}} \end{aligned} .

Từ điều kiện

x_{1} \leq 64 x_{2} \leq 4096 x_{1} .

\Leftrightarrow 2^{t_{1}} \leq 2^{6} {.2}^{t_{2}} \leq 2^{12} {.2}^{t_{1}} \Leftrightarrow 2^{t_{1}} \leq 2^{6 + t_{2}} \leq 2^{12 + t_{1}}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} t_{1} - t_{2} \leq 6 \\ t_{1} - t_{2} \geq - 6 \end{aligned} \Leftrightarrow | t_{1} - t_{2} | \leq 6

\Leftrightarrow {(t_{1} + t_{2})}^{2} - 4 t_{1} t_{2} \leq 36 \Leftrightarrow {(- 2 m)}^{2} - 4 (2 m - 2) \leq 36

\Leftrightarrow m^{2} - 2 m - 7 \leq 0

\Leftrightarrow 1 - 2 \sqrt{2} \leq m \leq 1 + 2 \sqrt{2}

Có 5 giá trị nguyên của

m \in [1 - 2 \sqrt{2}; 1 + 2 \sqrt{2}] .

Đáp án B.

Cho phương trình log22⁡x+2mlog2x+2m−2=0 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai...