Cho phương trình $lo{{g}_{4}}{{x}^{2}}~+lo{{g}_{2}}\left( 4-x...

Phương pháp:
Giải phương trình logarit: ${{\log }_{a}}f\left( x \right)=b\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)>0 \\
& 0<a\ne 1 \\
& f\left( x \right)={{a}^{b}} \\
\end{aligned} \right..$
Cách giải:
Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x\ne 0 \\
& 4-x>0 \\
& 2+m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ne 0 \\
& x<4 \\
& m>-2 \\
\end{aligned} \right..$
$lo{{g}_{4}}{{x}^{2}}+lo{{g}_{2}}\left( \text{4}-x \right)=lo{{g}_{2}}\left( 2~+~m \right)~$
$\Leftrightarrow lo{{g}_{{{2}^{2}}}}{{x}^{2}}+lo{{g}_{2}}\left( 4-x \right)=lo{{g}_{2}}\left( 2~+~m \right)~$
$\Leftrightarrow lo{{g}_{2}}\left| x \right|+lo{{g}_{2}}\left( 4-x \right)=lo{{g}_{2}}\left( 2~+~m \right)~~~~~~~~$
$\Leftrightarrow lo{{g}_{2}}\left( 4-x \right)\left| x \right|=lo{{g}_{2}}\left( 2~+~m \right)~~~~~~~~$
$\Leftrightarrow \left( 4-x \right)\left| x \right|=2~+~m~~~~~~~~$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\left( 4-x \right)=2+m \left( 1 \right) khi 0<x<4 \\
& x\left( 4-x \right)=2+m \left( 2 \right) khi x<0 \\
\end{aligned} \right..$
Xét phương trình $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+4x=m+2$
Xét hàm số $y=-{{x}^{2}}+4x$ trong $\left( 0;4 \right)$ ta có:
$y'=-2x+4\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow -2x+4=0\Leftrightarrow x=2\in \left( 0;4 \right)$
Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình $~\left( 1 \right)$ có nghiệm $\Leftrightarrow 0<m+2<4\Leftrightarrow -2<m<2.$
$m\in Z\Rightarrow m\in \left\{ -1;0;1 \right\}.$
Xét phương trình $\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x=m+2$
Xét hàm số $y={{x}^{2}}-4x trong\left( -\infty ;0 \right)$ ta có:
$y'=2x-4\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=2\notin \left( -\infty ;0 \right).$
Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm $\Leftrightarrow m+2<0 \left( ktm \right)~$
Vậy có 3 giá trị nguyên của mthỏa mãn bài toán.