Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{\left( \sqrt{3} \right)}^{3{{x}^{2}}-3mx+4}}-{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2{{x}^{2}}-mx+3m}}=-{{x}^{2}}+2mx+3m-4$ $\left( 1 \right)$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc khoảng $\left( 0;2020 \right)$ sao cho phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt. Số phần tử của tập $S$ là
A. $2020$.
B. $2018$.
C. $2019$.
D. $2021$.
A. $2020$.
B. $2018$.
C. $2019$.
D. $2021$.
${{\left( \sqrt{3} \right)}^{3{{x}^{2}}-3mx+4}}-{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2{{x}^{2}}-mx+3m}}=-{{x}^{2}}+2mx+3m-4$
$\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{3} \right)}^{3{{x}^{2}}-3mx+4}}+3{{x}^{2}}-3mx+4={{\left( \sqrt{3} \right)}^{2{{x}^{2}}-mx+3m}}+2{{x}^{2}}-mx+3m$ $\left( 2 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\left( \sqrt{3} \right)}^{t}}+t$ trên tập $\mathbb{R}$. Ta có ${f}'\left( t \right)={{\left( \sqrt{3} \right)}^{t}}\ln \sqrt{3}+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$ suy ra hàm số $y=f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Khi đó, phương trình $\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( 3{{x}^{2}}-3mx+4 \right)=f\left( 2{{x}^{2}}-mx+3m \right)$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3mx+4=2{{x}^{2}}-mx+3m$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx-3m+4=0$ $\left( 3 \right)$.
Phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $\left( 3 \right)$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {\Delta }'>0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}+3m-4>0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>1 \\
& m<-4 \\
\end{aligned} \right.$.
Mà $m$ nguyên và thuộc khoảng $\left( 0;2020 \right)$ suy ra $S=\left\{ 2;3;4...;2019 \right\}$.
Vậy tập $S$ có $2018$ phần tử.
$\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{3} \right)}^{3{{x}^{2}}-3mx+4}}+3{{x}^{2}}-3mx+4={{\left( \sqrt{3} \right)}^{2{{x}^{2}}-mx+3m}}+2{{x}^{2}}-mx+3m$ $\left( 2 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\left( \sqrt{3} \right)}^{t}}+t$ trên tập $\mathbb{R}$. Ta có ${f}'\left( t \right)={{\left( \sqrt{3} \right)}^{t}}\ln \sqrt{3}+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$ suy ra hàm số $y=f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Khi đó, phương trình $\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( 3{{x}^{2}}-3mx+4 \right)=f\left( 2{{x}^{2}}-mx+3m \right)$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3mx+4=2{{x}^{2}}-mx+3m$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx-3m+4=0$ $\left( 3 \right)$.
Phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $\left( 3 \right)$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {\Delta }'>0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}+3m-4>0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>1 \\
& m<-4 \\
\end{aligned} \right.$.
Mà $m$ nguyên và thuộc khoảng $\left( 0;2020 \right)$ suy ra $S=\left\{ 2;3;4...;2019 \right\}$.
Vậy tập $S$ có $2018$ phần tử.
Đáp án B.