Cho phương trình $\left( {{\log }_{5}}{{x}^{2020}}-mx \right)\sqrt{2{{\log }_{2}}x-x}=0.$ Số giá trị nguyên của $m$ để phương trình đã cho có 4...

Điều kiện xác định
Với điều kiện trên, pt trở thành
Xét phương trình
Ta có là hai nghiệm của phương trình.
Với ta có
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra có hai nghiệm
Do đó để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt trên khoảng
vì
Xét hàm số trên khoảng có

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để (2) có hai nghiệm phân biệt thì
Mà nên
Vậy có 27 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.