Cho phương trình $({\log }_5{x}^{2020}-mx)\sqrt{2{\log }_{2}x-x}=0.$ Số giá trị nguyên của $m$ để phương trình đã cho có 4...

Điều kiện xác định $\{\begin{array}{rl}& x>0\\ & 2{\log }_{2}x-x\ge 0\end{array}$
Với điều kiện trên, pt trở thành $[\begin{array}{rl}& 2{\log }_{2}x-x=0\\ & {\log }_5{x}^{2020}-mx=0\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& 2{\log }_{2}x-x=0\left(1\right)\\ & {\displaystyle \frac{{\log }_5{x}^{2020}}{x}}=m\left(2\right)\end{array}$
Xét phương trình $\left(1\right):f\left(x\right)=2{\log }_{2}x-x=0$
Ta có $f\left(2\right)=f\left(4\right)=0\Rightarrow x=2;x=4$ là hai nghiệm của phương trình.
Với $x\in (2;4)$ ta có $f^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x\ln 2}}-1={\displaystyle \frac{2-x\ln 2}{x\ln 2}}=0;f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x={\displaystyle \frac{2}{\ln 2}}$
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra $\left(1\right)$ có hai nghiệm $x=2;x=4.$
Do đó để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt trên khoảng $(2;4).$
$\left(2\right)\iff g\left(x\right)={\displaystyle \frac{2020.{\log }_{5}x}{x}}=m$ vì $x>0$
Xét hàm số $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{2020{\log }_{5}x}{x}}$ trên khoảng $(2;4)$ có
$g^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{2020{\log }_{5}e-2020{\log }_{5}x}{x^2}};g^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=e$
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để (2) có hai nghiệm phân biệt thì $434,98<m<461,72$
Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{435;436;...;461\}$
Vậy có 27 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.