Cho phương trình $\left( {{\log }_{5}}{{x}^{2020}}-mx \right)\sqrt{2{{\log }_{2}}x-x}=0.$ Số giá trị nguyên của $m$ để phương trình đã cho có 4...

Điều kiện xác định $\left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& 2{{\log }_{2}}x-x\ge 0 \\
\end{aligned} \right.$
Với điều kiện trên, pt trở thành $\left[ \begin{aligned}
& 2{{\log }_{2}}x-x=0 \\
& {{\log }_{5}}{{x}^{2020}}-mx=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2{{\log }_{2}}x-x=0\left( 1 \right) \\
& \dfrac{{{\log }_{5}}{{x}^{2020}}}{x}=m\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét phương trình $\left( 1 \right):f\left( x \right)=2{{\log }_{2}}x-x=0$
Ta có $f\left( 2 \right)=f\left( 4 \right)=0\Rightarrow x=2;x=4$ là hai nghiệm của phương trình.
Với $x\in \left( 2;4 \right)$ ta có $f'\left( x \right)=\dfrac{2}{x\ln 2}-1=\dfrac{2-x\ln 2}{x\ln 2}=0;f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{\ln 2}$
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm $x=2;x=4.$
Do đó để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt trên khoảng $\left( 2;4 \right).$
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow g\left( x \right)=\dfrac{2020.{{\log }_{5}}x}{x}=m$ vì $x>0$
Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{2020{{\log }_{5}}x}{x}$ trên khoảng $\left( 2;4 \right)$ có
$g'\left( x \right)=\dfrac{2020{{\log }_{5}}e-2020{{\log }_{5}}x}{{{x}^{2}}};g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=e$
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để (2) có hai nghiệm phân biệt thì $434,98<m<461,72$
Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 435;436;...;461 \right\}$
Vậy có 27 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.