Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{\left( {{\log }_{3}}\left( \dfrac{x}{3} \right) \right)}^{2}}+3m{{\log }_{3}}x+2{{m}^{2}}-2m-1=0.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ lớn hơn $-2021$ sao cho phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}>10$ ?
A. 2020.
B. 2019.
C. 2020.
D. 2021.
A. 2020.
B. 2019.
C. 2020.
D. 2021.
ĐK: $x>0.$
${{\left( {{\log }_{3}}\left( \dfrac{x}{3} \right) \right)}^{2}}+3m{{\log }_{3}}x+2{{m}^{2}}-2m-1=0\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{3}}x-1 \right)}^{2}}+3m{{\log }_{3}}x+2{{m}^{2}}-2m-1=0$
Đặt $t={{\log }_{3}}x$
Phương trình trở thành ${{\left( t-1 \right)}^{2}}+3mt+2{{m}^{2}}-2m-1=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+\left( 3m-2 \right)t+2{{m}^{2}}-2m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-m \\
& t=-2m+2 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{3}^{-m}} \\
& x={{3}^{-2m+2}} \\
\end{aligned} \right.$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}>10\Leftrightarrow {{3}^{-m}}+{{3}^{-2m+2}}>10\Leftrightarrow {{9.3}^{-2m}}+{{3}^{-m}}-10>0\Leftrightarrow {{3}^{-m}}>1\Leftrightarrow -m>0\Leftrightarrow m<0.$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ và $m>-2021$ nên $m\in \left\{ -2020;-2019;...;-1 \right\}.$
${{\left( {{\log }_{3}}\left( \dfrac{x}{3} \right) \right)}^{2}}+3m{{\log }_{3}}x+2{{m}^{2}}-2m-1=0\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{3}}x-1 \right)}^{2}}+3m{{\log }_{3}}x+2{{m}^{2}}-2m-1=0$
Đặt $t={{\log }_{3}}x$
Phương trình trở thành ${{\left( t-1 \right)}^{2}}+3mt+2{{m}^{2}}-2m-1=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+\left( 3m-2 \right)t+2{{m}^{2}}-2m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-m \\
& t=-2m+2 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{3}^{-m}} \\
& x={{3}^{-2m+2}} \\
\end{aligned} \right.$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}>10\Leftrightarrow {{3}^{-m}}+{{3}^{-2m+2}}>10\Leftrightarrow {{9.3}^{-2m}}+{{3}^{-m}}-10>0\Leftrightarrow {{3}^{-m}}>1\Leftrightarrow -m>0\Leftrightarrow m<0.$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ và $m>-2021$ nên $m\in \left\{ -2020;-2019;...;-1 \right\}.$
Đáp án A.