Cho phương trình $\left(2 \log _{3}^{2} x-\log _{3} x-1\right)...

The Collectors · 14/3/22

Câu hỏi: Cho phương trình

(2 \log_{3}^{2} x - \log_{3} x - 1) \sqrt{5^{x} - m} = 0

(

m

là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của

m

để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?
A. 125.
B. 123.
C. 122.
D. 124.

Điều kiện

{\begin{aligned} x > 0 \\ 5^{x} - m \geq 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x > 0 \\ m \leq 5^{x} \end{aligned}

.

(2 \log_{3}^{2} x - \log_{3} x - 1) \sqrt{5^{x} - m} = 0 \Leftrightarrow {\begin{aligned} x > 0, 5^{x} - m \geq 0 \\ [\begin{aligned} 5^{x} - m = 0 \\ 2 \log_{3}^{2} x - \log_{3} x - 1 = 0 \end{aligned} \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} x > 0, 5^{x} - m \geq 0 \\ [\begin{aligned} 5^{x} - m = 0 \\ \log_{3} x = \frac{- 1}{2} \\ \log_{3} x = 1 \end{aligned} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x > 0, 5^{x} - m \geq 0 \\ [\begin{aligned} x = \log_{5} m \\ x = 3^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ x = 3 \end{aligned} \end{aligned}

+ Khi

m = 1 \Rightarrow x = \log_{2} 1 = 0

vậy phương trình

(2 \log_{3}^{2} x - \log_{3} x - 1) \sqrt{5^{x} - m} = 0

có 2 nghiệm

[\begin{aligned} x = 3^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ x = 3 \end{aligned}

+

m > 1 \Rightarrow x = \log_{5} m

là 1 nghiệm. Để phương trình có đúng 2 nghiệm thì

\frac{1}{\sqrt{3}} \leq \log_{5} m < 3 \Leftrightarrow 5^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \leq m < 5^{3} \Leftrightarrow 2, 53 \leq m < 125

Đáp án B.