Cho phương trình $\left( 2\log _{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x-2...

Ta có: $\left( 2\log _{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x-2 \right)\sqrt{{{3}^{x}}-m}=0\left( * \right)$
Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& {{3}^{x}}-m\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& m\le {{3}^{x}} \\
\end{aligned} \right.$
Với điều kiện đó,
$\left( * \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2\log _{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x-2=0 \\
& {{3}^{x}}-m=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}x=2 \\
& {{\log }_{2}}x=\dfrac{-1}{2} \\
& {{3}^{x}}=m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=4 \\
& x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
& {{3}^{x}}=m \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{3}^{x}}$ trên $\mathbb{R}$ có $f'\left( x \right)={{3}^{x}}\ln 3>0 \forall x\in \mathbb{R}$
Ta có bảng biến thiên sau

Theo yêu cầu bài toán: $\left[ \begin{aligned}
& {{3}^{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}}\le m<81 \\
& 0<m\le 1 \\
\end{aligned} \right. $. Vây có 79 số nguyên dương $ m$ thỏa ycbt