Cho phương trình bằng ${{\log }_{a}}4+{{\log...

Xét phương trình bằng ${{\log }_{a}}4+{{\log }_{\dfrac{1}{5}}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+ax+2}+4 \right).{{\log }_{a}}\left( {{x}^{2}}+ax+5 \right)=0$. (1)
Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& a>0 \\
& a\ne 1 \\
\end{aligned} \right.$
Vì $a\in \mathbb{Z}\Rightarrow a\ge 1$
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}+ax+2} \left( t\ge 0 \right)$, phương trình (1) trở thành
${{\log }_{a}}4={{\log }_{5}}\left( t+4 \right).{{\log }_{a}}\left( {{t}^{2}}+3 \right)$ (2)
Nhận xét $t=1$ là nghiệm của phương trình (2)
Với $t>1\Rightarrow {{\log }_{5}}\left( t+4 \right).{{\log }_{a}}\left( {{t}^{2}}+3 \right)>{{\log }_{5}}5.{{\log }_{a}}4\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( t+4 \right).{{\log }_{a}}\left( {{t}^{2}}+3 \right)>{{\log }_{a}}4$
$\Rightarrow \left( 2 \right)$ vô nghiệm.
Với $0\le t<1\Rightarrow {{\log }_{5}}\left( t+4 \right).{{\log }_{a}}\left( {{t}^{2}}+3 \right)<{{\log }_{5}}5.{{\log }_{a}}4\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( t+4 \right).{{\log }_{a}}\left( {{t}^{2}}+3 \right)<{{\log }_{a}}4$
$\Rightarrow \left( 2 \right)$ vô nghiệm.
Vậy (2) có nghiệm duy nhất $t=1$ $\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+ax+2}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+ax+1=0$ (*)
Khi đó (1) có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \left( * \right)$ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow $ ${{a}^{2}}-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=2 \left( tm \right) \\
& a=-2 \left( loai \right) \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $a=2$ thỏa mãn bài toán.