Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{9}^{x}}-\left(2m+3 \right){{3}^{x}}+81=0$ ( $m$ là tham số thực ). Giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thoả mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$ thuộc khoảng nào sau đây
A. $\left(5; 10 \right)$.
B. $\left(0; 5 \right)$.
C. $\left(10; 15 \right)$.
D. $\left(15;+\infty \right)$.
A. $\left(5; 10 \right)$.
B. $\left(0; 5 \right)$.
C. $\left(10; 15 \right)$.
D. $\left(15;+\infty \right)$.
Đặt $t={{3}^{x}},t>0$ ta có phương trình ${{t}^{2}}-\left( 2m+3 \right)t+81=0$. (1)
Phương trình đã cho có 2 nghiệm $x$ phân biệt khi phương trình ẩn $t$ có $2$ nghiệm dương
phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& S>0 \\
& P>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( 2m+3 \right)}^{2}}-4.81>0 \\
& 2m+3>0 \\
& 81>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4{{m}^{2}}+12m-315>0 \\
& m>-\frac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m>\frac{15}{2} \\
& m<-\frac{21}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
& m>-\frac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>\frac{15}{2} $ Với điều kiện trên phương trình (1) có $ 2 $ nghiệm $ {{t}_{1}},{{t}_{2}} $ thoả mãn $ \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=2m+3 \\
& {{t}_{1}}{{t}_{2}}=81 \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình ẩn $x$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thoả mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=10$.
Khi đó ${{\left( {{\log }_{3}}{{t}_{1}}+{{\log }_{3}}{{t}_{2}} \right)}^{2}}-2{{\log }_{3}}{{t}_{1}}.{{\log }_{3}}{{t}_{2}}=10\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{3}}{{t}_{1}}{{t}_{2}} \right)}^{2}}-2{{\log }_{3}}{{t}_{1}}.{{\log }_{3}}{{t}_{2}}=10$
$\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{3}}81 \right)}^{2}}-2{{\log }_{3}}{{t}_{1}}.{{\log }_{3}}\left( \frac{81}{{{t}_{1}}} \right)=10\Leftrightarrow 16-2{{\log }_{3}}{{t}_{1}}\left( 4-{{\log }_{3}}{{t}_{1}} \right)=10$
$\Leftrightarrow 2{{\left( {{\log }_{3}}{{t}_{1}} \right)}^{2}}-8{{\log }_{3}}{{t}_{1}}+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}{{t}_{1}}=1 \\
& {{\log }_{3}}{{t}_{1}}=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=3 \\
& {{t}_{1}}=27 \\
\end{aligned} \right.$
Với ${{t}_{1}}=3\Rightarrow {{t}_{2}}=27$ suy ra $3+27=2m+3\Leftrightarrow m=\frac{27}{2}=13,5$ (t/m).
Với ${{t}_{1}}=27\Rightarrow {{t}_{2}}=3$ suy ra $27+3=2m+3\Leftrightarrow m=\frac{27}{2}=13,5$ (t/m).
Vậy $m=13,5$.
Phương trình đã cho có 2 nghiệm $x$ phân biệt khi phương trình ẩn $t$ có $2$ nghiệm dương
phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& S>0 \\
& P>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( 2m+3 \right)}^{2}}-4.81>0 \\
& 2m+3>0 \\
& 81>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4{{m}^{2}}+12m-315>0 \\
& m>-\frac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m>\frac{15}{2} \\
& m<-\frac{21}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
& m>-\frac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>\frac{15}{2} $ Với điều kiện trên phương trình (1) có $ 2 $ nghiệm $ {{t}_{1}},{{t}_{2}} $ thoả mãn $ \left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=2m+3 \\
& {{t}_{1}}{{t}_{2}}=81 \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình ẩn $x$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thoả mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=10$.
Khi đó ${{\left( {{\log }_{3}}{{t}_{1}}+{{\log }_{3}}{{t}_{2}} \right)}^{2}}-2{{\log }_{3}}{{t}_{1}}.{{\log }_{3}}{{t}_{2}}=10\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{3}}{{t}_{1}}{{t}_{2}} \right)}^{2}}-2{{\log }_{3}}{{t}_{1}}.{{\log }_{3}}{{t}_{2}}=10$
$\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{3}}81 \right)}^{2}}-2{{\log }_{3}}{{t}_{1}}.{{\log }_{3}}\left( \frac{81}{{{t}_{1}}} \right)=10\Leftrightarrow 16-2{{\log }_{3}}{{t}_{1}}\left( 4-{{\log }_{3}}{{t}_{1}} \right)=10$
$\Leftrightarrow 2{{\left( {{\log }_{3}}{{t}_{1}} \right)}^{2}}-8{{\log }_{3}}{{t}_{1}}+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}{{t}_{1}}=1 \\
& {{\log }_{3}}{{t}_{1}}=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=3 \\
& {{t}_{1}}=27 \\
\end{aligned} \right.$
Với ${{t}_{1}}=3\Rightarrow {{t}_{2}}=27$ suy ra $3+27=2m+3\Leftrightarrow m=\frac{27}{2}=13,5$ (t/m).
Với ${{t}_{1}}=27\Rightarrow {{t}_{2}}=3$ suy ra $27+3=2m+3\Leftrightarrow m=\frac{27}{2}=13,5$ (t/m).
Vậy $m=13,5$.
Đáp án C.