Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{5}^{x}}+m={{\log }_{5}}\left( x-m \right)$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left( -20;20 \right)$ để phương trình đã cho có nghiệm?
A. $20$.
B. $19$.
C. $9$.
D. $21$.
A. $20$.
B. $19$.
C. $9$.
D. $21$.
Điều kiện $x>m$. Ta có ${{5}^{x}}+m={{\log }_{5}}\left( x-m \right)\Leftrightarrow {{5}^{x}}+x=x-m+{{\log }_{5}}\left( x-m \right)$
$\Leftrightarrow {{5}^{x}}+x={{5}^{{{\log }_{5}}\left( x-m \right)}}+{{\log }_{5}}\left( x-m \right)$ $\left( 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{5}^{t}}+t$ có đạo hàm ${f}'\left( t \right)={{5}^{t}}\ln 5+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$,
Do đó từ $\left( 1 \right)$ suy ra $x={{\log }_{5}}\left( x-m \right)\Leftrightarrow m=x-{{5}^{x}}$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=x-{{5}^{x}}$, ${g}'\left( x \right)=1-{{5}^{x}}.\ln 5$, ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x={{\log }_{5}}\dfrac{1}{\ln 5}=-{{\log }_{5}}\ln 5={{x}_{0}}$.
Bảng biến thiên
Do đó để phương trình có nghiệm thì $m\le g\left( {{x}_{0}} \right)\approx -0,92$.
Các giá trị nguyên của $m\in \left( -20;20 \right)$ là $\left\{ -19;-18;...;-1 \right\}$, có $19$ giá trị $m$ thỏa mãn.
$\Leftrightarrow {{5}^{x}}+x={{5}^{{{\log }_{5}}\left( x-m \right)}}+{{\log }_{5}}\left( x-m \right)$ $\left( 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{5}^{t}}+t$ có đạo hàm ${f}'\left( t \right)={{5}^{t}}\ln 5+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$,
Do đó từ $\left( 1 \right)$ suy ra $x={{\log }_{5}}\left( x-m \right)\Leftrightarrow m=x-{{5}^{x}}$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=x-{{5}^{x}}$, ${g}'\left( x \right)=1-{{5}^{x}}.\ln 5$, ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x={{\log }_{5}}\dfrac{1}{\ln 5}=-{{\log }_{5}}\ln 5={{x}_{0}}$.
Bảng biến thiên
Các giá trị nguyên của $m\in \left( -20;20 \right)$ là $\left\{ -19;-18;...;-1 \right\}$, có $19$ giá trị $m$ thỏa mãn.
Đáp án B.