Cho phương trình ${{3}^{1+\dfrac{3}{x}}}-{{3.3}^{\dfrac{2}{x}-2\sqrt{x}+1}}+\left( m+2...

Điều kiện: $x>0.$
Ta có: ${{3}^{1+\dfrac{3}{x}}}-{{3.3}^{\dfrac{2}{x}-2\sqrt{x+1}}}+\left( m+2 \right){{.3}^{1+\dfrac{1}{x}-4\sqrt{x}}}-m{{.3}^{1-6\sqrt{x}}}=0$
$\Leftrightarrow {{3}^{3\left( \dfrac{1}{x}+2\sqrt{x} \right)}}-{{3.3}^{2\left( \dfrac{1}{x}+2\sqrt{x} \right)}}+\left( m+2 \right){{.3}^{\dfrac{1}{x}+2\sqrt{x}}}-m=0\left( * \right)$
Đặt $t={{3}^{\dfrac{1}{x}+2\sqrt{x}}}={{3}^{\dfrac{1}{x}+\sqrt{x}+\sqrt{x}}}\ge {{3}^{3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x}.\sqrt{x}.\sqrt{x}}}}={{3}^{3}}=27.$
Phương trình có dạng: $\Leftrightarrow {{t}^{3}}-3.{{t}^{2}}+\left( m+2 \right).t-m=0\left( ** \right)$
Ta tìm $m\in \left[ -2020;2021 \right]$ để phương trình (**) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 27.
Ta có: $\left( ** \right)\Leftrightarrow \left( t-1 \right)\left( {{t}^{2}}-2t+m \right)=0$
$\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t+m=0$ (Vì $t\ge 27$ )
$\Leftrightarrow {{\left( t-1 \right)}^{2}}=1-m$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-m\ge 0 \\
& t=1\pm \sqrt{1-m} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy để phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 27 thì
$\left\{ \begin{aligned}
& 1-m\ge 0 \\
& 1+\sqrt{1-m}\ge 27 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 1 \\
& 1-m\ge 676 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le -675.$
Vì $m\in \left[ -2020;2021 \right]$ nên có: $2020-675+1=1346$ giá trị $m.$