Cho phương trình ${{3}^{1+\dfrac{3}{x}}}-{{3.3}^{\dfrac{2}{x}-2\sqrt{x}+1}}+\left( m+2...

Điều kiện: $x>0.$
Ta có: $3^{1+{\displaystyle \frac{3}{x}}}-{3.3}^{{\displaystyle \frac{2}{x}}-2\sqrt{x+1}}+(m+2){.3}^{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}-4\sqrt{x}}-m{.3}^{1-6\sqrt{x}}=0$
$\iff 3^{3({\displaystyle \frac{1}{x}}+2\sqrt{x})}-{3.3}^{2({\displaystyle \frac{1}{x}}+2\sqrt{x})}+(m+2){.3}^{{\displaystyle \frac{1}{x}}+2\sqrt{x}}-m=0(\ast )$
Đặt $t=3^{{\displaystyle \frac{1}{x}}+2\sqrt{x}}=3^{{\displaystyle \frac{1}{x}}+\sqrt{x}+\sqrt{x}}\ge 3^{3\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{x}}.\sqrt{x}.\sqrt{x}}}=3^3=27.$
Phương trình có dạng: $\iff t^3-3.t^2+(m+2).t-m=0(\ast \ast )$
Ta tìm $m\in [-2020;2021]$ để phương trình (**) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 27.
Ta có: $(\ast \ast )\iff (t-1)(t^2-2t+m)=0$
$\iff t^2-2t+m=0$ (Vì $t\ge 27$ )
$\iff {(t-1)}^2=1-m$
$\iff \{\begin{array}{rl}& 1-m\ge 0\\ & t=1\pm \sqrt{1-m}\end{array}$
Vậy để phương trình $(\ast )$ có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 27 thì
$\{\begin{array}{rl}& 1-m\ge 0\\ & 1+\sqrt{1-m}\ge 27\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m\le 1\\ & 1-m\ge 676\end{array}\iff m\le -675.$
Vì $m\in [-2020;2021]$ nên có: $2020-675+1=1346$ giá trị $m.$