Cho phương trình ${{27}^{x}}+3x{{.9}^{x}}+\left( 3{{x}^{2}}+1 \right){{3}^{x}}=\left( {{m}^{3}}-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right)x,m$ là tham...

Phương trình đã cho tương đương
${{\left( {{3}^{x}} \right)}^{3}}+3x.{{\left( {{3}^{x}} \right)}^{2}}+\left( 3{{x}^{2}}+1 \right){{.3}^{x}}=\left( {{m}^{3}}-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right)x$
$\Leftrightarrow {{\left( {{3}^{x}}+x \right)}^{3}}+{{3}^{x}}+x={{\left( mx \right)}^{3}}+mx\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( u \right)={{u}^{3}}+u,f'\left( u \right)=3{{u}^{2}}+1>0,\forall u\in \mathbb{R}.$
Phương trình (*) tương đương $f\left( {{3}^{x}}+x \right)=f\left( mx \right)$
Nên ${{3}^{x}}+x=mx\Leftrightarrow m=\dfrac{{{3}^{x}}}{x}+1,x>0.$
Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{{{3}^{x}}}{x}+1,x>0.$
Ta có $g'\left( x \right)=\dfrac{{{3}^{x}}\left( x\ln 3-1 \right)}{{{x}^{2}}}\Rightarrow g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}e.$
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge g\left( {{\log }_{3}}e \right)=1+e\ln 3\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& b=3 \\
\end{aligned} \right..$