Google
Câu hỏi: Cho phương trình: $2^{m} \cdot 2^{\sin ^{2} x}+3 \cdot \dfrac{1}{9^{\cos x+2}}+m-\cos ^{2} x=8 \cdot 4^{\cos x}+2(\cos x+1)+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{m} \cdot 3^{\cos ^{2} x-1}$ (1)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình (1) có nghiêm thực?
A. $3$.
B. $5$.
C. $7$.
D. $9$.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình (1) có nghiêm thực?
A. $3$.
B. $5$.
C. $7$.
D. $9$.
Ta có: ${{2}^{m}}{{.2}^{{{\sin }^{2}}x}}+3.\dfrac{1}{{{9}^{\cos x+2}}}+m-{{\cos }^{2}}x={{8.4}^{\cos x}}+2\left( \cos x+1 \right)+{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{m}}{{.3}^{{{\cos }^{2}}x-1}}\left( 1 \right)$
$\Leftrightarrow {{2}^{m+{{\sin }^{2}}x}}+{{3}^{-2\cos x-3}}+m+{{\sin }^{2}}x={{2}^{2\cos x+3}}+2\cos x+3+{{3}^{-m-{{\sin }^{2}}x}}$
$\Leftrightarrow {{2}^{m+{{\sin }^{2}}x}}+m+{{\sin }^{2}}x-{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{m+{{\sin }^{2}}x}}={{2}^{2\cos x+3}}+2\cos x+3-{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2\cos x+3}}\left( 2 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t-{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{t}}$, có $f'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+1-{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{t}}\ln \dfrac{1}{3}={{2}^{t}}\ln 2+1+{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{t}}\ln 3>0$
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến, từ đó $\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( m+{{\sin }^{2}}x \right)=f\left( 2\cos x+3 \right)$
$\Leftrightarrow m+{{\sin }^{2}}x=2\cos x+3\Leftrightarrow m={{\cos }^{2}}x+2\cos x+2\Leftrightarrow m={{\left( \cos x+1 \right)}^{2}}+1$
Do $\cos x\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow {{\left( \cos x+1 \right)}^{2}}+1\in \left[ 1;5 \right]$ dấu "=" xảy ra tương ứng với $\cos x=-1;\cos x=1$
Từ đó để phương trình có nghiệm điều kiện là $1\le m\le 5,m$ nguyên nên chọn $m\in \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}.$
$\Leftrightarrow {{2}^{m+{{\sin }^{2}}x}}+{{3}^{-2\cos x-3}}+m+{{\sin }^{2}}x={{2}^{2\cos x+3}}+2\cos x+3+{{3}^{-m-{{\sin }^{2}}x}}$
$\Leftrightarrow {{2}^{m+{{\sin }^{2}}x}}+m+{{\sin }^{2}}x-{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{m+{{\sin }^{2}}x}}={{2}^{2\cos x+3}}+2\cos x+3-{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2\cos x+3}}\left( 2 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t-{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{t}}$, có $f'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+1-{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{t}}\ln \dfrac{1}{3}={{2}^{t}}\ln 2+1+{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{t}}\ln 3>0$
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến, từ đó $\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( m+{{\sin }^{2}}x \right)=f\left( 2\cos x+3 \right)$
$\Leftrightarrow m+{{\sin }^{2}}x=2\cos x+3\Leftrightarrow m={{\cos }^{2}}x+2\cos x+2\Leftrightarrow m={{\left( \cos x+1 \right)}^{2}}+1$
Do $\cos x\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow {{\left( \cos x+1 \right)}^{2}}+1\in \left[ 1;5 \right]$ dấu "=" xảy ra tương ứng với $\cos x=-1;\cos x=1$
Từ đó để phương trình có nghiệm điều kiện là $1\le m\le 5,m$ nguyên nên chọn $m\in \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}.$
Đáp án B.