Cho Phương trình $2{{\log }_{3}}\left( \tan x \right)={{\log...

Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& \tan x>0 \\
& \sin x>0 \\
& x\ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét phương trình trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right) \left( k\in \mathbb{Z} \right)$
Đặt $f\left( x \right)=2{{\log }_{3}}\left( \tan x \right)-{{\log }_{2}}\left( \sin x \right)$
${f}'\left( x \right)=\dfrac{2}{{{\cos }^{2}}x.\tan x.\ln 3}-\dfrac{\cos x}{\sin x.\ln 2}=\dfrac{1}{\sin x}\left( \dfrac{2}{\cos x.\ln 3}-\dfrac{\cos x}{\ln 2} \right)$
$=\dfrac{2\ln 2-{{\cos }^{2}}x.\ln 3}{\ln 2.\ln 3.\sin x.\cos x}>0$
$\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$
* $f\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=0$
Vậy phương trình có duy nhất nghiệm $x=\dfrac{\pi }{6}$ trên khoảng $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$
Hay phương trình có duy nhất nghiệm trên $\left( 0;2\pi \right)$
Vậy phương trình đã cho có: $1011$ nghiệm.