Cho phương trình: ${{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|}}.{{\log }_{81}}\left( \left| \left| {{x}^{3}}...

Ta có:
$2^{-|\left|m^3\right|-3m^2+1|}.{\log }_{81}(|\left|x^3\right|-3x^2+1|+2)+2^{-|\left|x^3\right|-3x^2+1|-2}.{\log }_3\left({\displaystyle \frac{1}{|\left|m^3\right|-3m^2+1|+2}}\right)=0\left(1\right)$
$\iff 2^{-|\left|m^3\right|-3m^2+1|-2}.{\log }_3(|\left|x^3\right|-3x^2+1|+2)+2^{-|\left|x^3\right|-3x^2+1|-2}.{\log }_3(|\left|m^3\right|-3m^2+1|+2)=0$
$\iff 2^{|\left|x^3\right|-3m^2+1|+2}.{\log }_3(|\left|x^3\right|-3x^2+1|+2)=2^{-|\left|m^3\right|-3m^2+1|+2}.{\log }_3(|\left|m^3\right|-3m^2+1|+2)\left(2\right)$
Xét hàm số $f\left(t\right)=2^t{\log }_{3}t$ với $t\ge 2.$
Có $f^{\prime }\left(t\right)=2^t\ln 2.{\log }_{3}t+{\displaystyle \frac{2^t}{t.\ln 3}}=2^t(\ln 2.{\log }_{3}t+{\displaystyle \frac{1}{t.\ln 3}})>0,\mathrm{\forall }c\in [2;+\mathrm{\infty }).$
Hàm số $f\left(t\right)=2^t{\log }_{3}t$ đồng biến trên $(2;+\mathrm{\infty }).$
$\left(2\right)\iff f(|\left|x^3\right|-3x^2+1|+2)=f(|\left|m^3\right|-3m^2+1|+2)$
$\iff |\left|x^3\right|-3x^2+1|+2=|\left|m^3\right|-3m^2+1|+2\iff |\left|x^3\right|-3x^2+1|=|\left|m^3\right|-3m^2+1|$
$\iff [\begin{array}{rl}& \left|x^3\right|-3x^2+1=\left|m^3\right|-3m^2+1\\ & \left|x^3\right|-3x^2+1=-\left|m^3\right|+3m^2-1\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& \left|x^3\right|-3x^2=\left|m^3\right|-3m^2\left(3\right)\\ & \left|x^3\right|-3x^2=-\left|m^3\right|+3m^2-2\left(4\right)\end{array}$
Xét hàm số $g\left(x\right)=x^3-3x^2$ có $g^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=2\end{array}.$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $g\left(x\right)=x^3-3x^2$
Suy ra bảng biến thiên của hàm số $g\left(\left|x\right|\right)={\left|x\right|}^3-3x^2$

Để phương trình (1) có 6 nghiệm hoặc 7 nghiệm hoặc 8 nghiệm thì phương trình (3) có 4 nghiệm và phương trình (4) có ít nhất 2 nghiệm hoặc phương trình (3) có 3 nghiệm thì phương trình (4) có ít nhất 3 nghiệm hoặc phương trình (3) có 2 nghiệm thì phương trình (4) có 4 nghiệm.
TH1: phương trình (3) có 4 nghiệm và phương trình (4) có ít nhất 2 nghiệm $\{\begin{array}{rl}& -4<\left|m^3\right|-3m^2<0\\ & -\left|m^3\right|+3m^2-2\ge -4\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& -4<\left|m^3\right|-3m^2<0\\ & \left|m^3\right|-3m^2\le 2\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& \left|m^3\right|-3m^2<0\\ & \left|m^3\right|-3m^2+4>0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m^2(\left|m\right|-3)<0\\ & {(\left|m\right|-2)}^2(\left|m\right|+1)>0\end{array}\iff -3<m<3$
TH2: phương trình (3) có 3 nghiệm thì phương trình (4) có ít nhất 3 nghiệm $\{\begin{array}{rl}& \left|m^3\right|-3m^2=0\\ & -4<-\left|m^3\right|+3m^2-2\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m^2(\left|m\right|-3)=0\\ & \left|m^3\right|-3m^2\ge -2\\ & \left|m^3\right|-3m^2<2\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& m=0\\ & m=\pm 3\end{array}$
TH3: phương trình (3) có 2 nghiệm thì phương trình (4) có 4 nghiệm
$\{\begin{array}{rl}& [\begin{array}{rl}& \left|m^3\right|-3m^2=-4\\ & \left|m^3\right|-3m^2>0\end{array}\\ & -4<-\left|m^3\right|+3m^2-2<0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m^2(\left|m\right|-3)>0\\ & \left|m^3\right|-3m^2<2\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& \left|m\right|>3\\ & \left|m^3\right|-3m^2<2\end{array}\iff m\in \varnothing$
Xét phương trình: $-\left|m^3\right|+3m^2-2=\left|m^3\right|-3m^2\iff \left|m^3\right|-3m^2+1=0$ không có nghiệm nguyên.
Vậy $S=\{0;\pm 1;\pm 2;\pm 3\}.$ Tổng bình phương các phần tử của $S$ là: 28.