Google
Câu hỏi: Cho phương trình:
${{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|}}.{{\log }_{81}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)+{{2}^{-\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \dfrac{1}{\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2} \right)=0$
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ nguyên để phương trình đã cho có 6 nghiệm hoặc 7 nghiệm hoặc 8 nghiệm. Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập $S.$
A. 20.
B. 19.
C. 14.
D. 28.
${{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|}}.{{\log }_{81}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)+{{2}^{-\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \dfrac{1}{\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2} \right)=0$
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ nguyên để phương trình đã cho có 6 nghiệm hoặc 7 nghiệm hoặc 8 nghiệm. Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập $S.$
A. 20.
B. 19.
C. 14.
D. 28.
Ta có:
${{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|}}.{{\log }_{81}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)+{{2}^{-\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \dfrac{1}{\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2} \right)=0\text{ }\left( 1 \right)$
$\Leftrightarrow {{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)+{{2}^{-\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2 \right)=0$
$\Leftrightarrow {{2}^{\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2}}.{{\log }_{3}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)={{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2}}.{{\log }_{3}}\left( \left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2 \right)\text{ }\left( 2 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}{{\log }_{3}}t$ với $t\ge 2.$
Có $f'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2.{{\log }_{3}}t+\dfrac{{{2}^{t}}}{t.\ln 3}={{2}^{t}}\left( \ln 2.{{\log }_{3}}t+\dfrac{1}{t.\ln 3} \right)>0,\forall c\in \left[ 2;+\infty \right).$
Hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}{{\log }_{3}}t$ đồng biến trên $\left( 2;+\infty \right).$
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)=f\left( \left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2 \right)$
$\Leftrightarrow \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2=\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2\Leftrightarrow \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|=\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1=\left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \\
& \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1=-\left| {{m}^{3}} \right|+3{{m}^{2}}-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}=\left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}\text{ }\left( 3 \right) \\
& \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}=-\left| {{m}^{3}} \right|+3{{m}^{2}}-2\text{ }\left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ có $g'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right..$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$
Suy ra bảng biến thiên của hàm số $g\left( \left| x \right| \right)={{\left| x \right|}^{3}}-3{{x}^{2}}$
Để phương trình (1) có 6 nghiệm hoặc 7 nghiệm hoặc 8 nghiệm thì phương trình (3) có 4 nghiệm và phương trình (4) có ít nhất 2 nghiệm hoặc phương trình (3) có 3 nghiệm thì phương trình (4) có ít nhất 3 nghiệm hoặc phương trình (3) có 2 nghiệm thì phương trình (4) có 4 nghiệm.
TH1: phương trình (3) có 4 nghiệm và phương trình (4) có ít nhất 2 nghiệm $\left\{ \begin{aligned}
& -4<\left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}<0 \\
& -\left| {{m}^{3}} \right|+3{{m}^{2}}-2\ge -4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -4<\left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}<0 \\
& \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}<0 \\
& \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+4>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}\left( \left| m \right|-3 \right)<0 \\
& {{\left( \left| m \right|-2 \right)}^{2}}\left( \left| m \right|+1 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -3<m<3$
TH2: phương trình (3) có 3 nghiệm thì phương trình (4) có ít nhất 3 nghiệm $\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}=0 \\
& -4<-\left| {{m}^{3}} \right|+3{{m}^{2}}-2\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}\left( \left| m \right|-3 \right)=0 \\
& \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}\ge -2 \\
& \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=\pm 3 \\
\end{aligned} \right.$
TH3: phương trình (3) có 2 nghiệm thì phương trình (4) có 4 nghiệm
$\left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}=-4 \\
& \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}>0 \\
\end{aligned} \right. \\
& -4<-\left| {{m}^{3}} \right|+3{{m}^{2}}-2<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}\left( \left| m \right|-3 \right)>0 \\
& \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| m \right|>3 \\
& \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\in \varnothing $
Xét phương trình: $-\left| {{m}^{3}} \right|+3{{m}^{2}}-2=\left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}\Leftrightarrow \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1=0$ không có nghiệm nguyên.
Vậy $S=\left\{ 0;\pm 1;\pm 2;\pm 3 \right\}.$ Tổng bình phương các phần tử của $S$ là: 28.
${{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|}}.{{\log }_{81}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)+{{2}^{-\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \dfrac{1}{\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2} \right)=0\text{ }\left( 1 \right)$
$\Leftrightarrow {{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)+{{2}^{-\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2 \right)=0$
$\Leftrightarrow {{2}^{\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2}}.{{\log }_{3}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)={{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2}}.{{\log }_{3}}\left( \left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2 \right)\text{ }\left( 2 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}{{\log }_{3}}t$ với $t\ge 2.$
Có $f'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2.{{\log }_{3}}t+\dfrac{{{2}^{t}}}{t.\ln 3}={{2}^{t}}\left( \ln 2.{{\log }_{3}}t+\dfrac{1}{t.\ln 3} \right)>0,\forall c\in \left[ 2;+\infty \right).$
Hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}{{\log }_{3}}t$ đồng biến trên $\left( 2;+\infty \right).$
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)=f\left( \left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2 \right)$
$\Leftrightarrow \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2=\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2\Leftrightarrow \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|=\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1=\left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \\
& \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1=-\left| {{m}^{3}} \right|+3{{m}^{2}}-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}=\left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}\text{ }\left( 3 \right) \\
& \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}=-\left| {{m}^{3}} \right|+3{{m}^{2}}-2\text{ }\left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ có $g'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right..$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$
Để phương trình (1) có 6 nghiệm hoặc 7 nghiệm hoặc 8 nghiệm thì phương trình (3) có 4 nghiệm và phương trình (4) có ít nhất 2 nghiệm hoặc phương trình (3) có 3 nghiệm thì phương trình (4) có ít nhất 3 nghiệm hoặc phương trình (3) có 2 nghiệm thì phương trình (4) có 4 nghiệm.
TH1: phương trình (3) có 4 nghiệm và phương trình (4) có ít nhất 2 nghiệm $\left\{ \begin{aligned}
& -4<\left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}<0 \\
& -\left| {{m}^{3}} \right|+3{{m}^{2}}-2\ge -4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -4<\left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}<0 \\
& \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}<0 \\
& \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+4>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}\left( \left| m \right|-3 \right)<0 \\
& {{\left( \left| m \right|-2 \right)}^{2}}\left( \left| m \right|+1 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -3<m<3$
TH2: phương trình (3) có 3 nghiệm thì phương trình (4) có ít nhất 3 nghiệm $\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}=0 \\
& -4<-\left| {{m}^{3}} \right|+3{{m}^{2}}-2\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}\left( \left| m \right|-3 \right)=0 \\
& \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}\ge -2 \\
& \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=\pm 3 \\
\end{aligned} \right.$
TH3: phương trình (3) có 2 nghiệm thì phương trình (4) có 4 nghiệm
$\left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}=-4 \\
& \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}>0 \\
\end{aligned} \right. \\
& -4<-\left| {{m}^{3}} \right|+3{{m}^{2}}-2<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}\left( \left| m \right|-3 \right)>0 \\
& \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| m \right|>3 \\
& \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\in \varnothing $
Xét phương trình: $-\left| {{m}^{3}} \right|+3{{m}^{2}}-2=\left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}\Leftrightarrow \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1=0$ không có nghiệm nguyên.
Vậy $S=\left\{ 0;\pm 1;\pm 2;\pm 3 \right\}.$ Tổng bình phương các phần tử của $S$ là: 28.
Đáp án D.