Cho phương trình ${{11}^{x}}+m={{\log }_{11}}\left( x-m \right)$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left( -205; 205...

Phương pháp:
Xét hàm đặc trưng
Cách giải:
Ta có
${{11}^{x}}+m={{\log }_{11}}\left( x-m \right)$
$\Leftrightarrow {{11}^{x}}+x=x-m+{{\log }_{11}}\left( x-m \right)$
$\Leftrightarrow {{11}^{x}}+x={{11}^{{{\log }_{11}}\left( x-m \right)}}+{{\log }_{11}}\left( x-m \right)\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{11}^{t}}+t\Rightarrow y'={{11}^{t}}.\ln 11+1>0\forall \text{t}\text{.}$ Khi đó hàm số $y=f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow x={{\log }_{11}}\left( x-m \right)\Leftrightarrow {{11}^{x}}=x-m\Leftrightarrow m=x-{{11}^{x}}.$
Xét hàm số $g\left( x \right)=x-{{11}^{x}}$ ta có $g'\left( x \right)=1-{{11}^{x}}.\ln 11=0\Rightarrow x={{\log }_{11}}\dfrac{1}{\ln 11}={{x}_{0}}$.
Bảng biến thiên

Để phương trình đã cho có nghiệm thì $m<g\left( {{x}_{0}} \right)\approx -0,78.$
Kết hợp điều kiện đề bài ta có $\left\{ \begin{aligned}
& -205<m\le -1 \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right..$
Vậy có 204 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.