Cho nửa đường tròn đường kính $AB=2R$ và điểm Cthay đổi trên nửa...

Phương pháp:
- Tính AH, CHtheo Rvà α .
- Thể tích khối nón có đường cao h, bán kính đáy rlà $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h.~$
- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của hàm số.
Cách giải:

Khi quay tam giác vuông ACHquanh trục ABta nhận được khối nón có chiều cao h= AH, bán kính đáy $r=CH.~$
Ta có $\angle ACB={{90}^{0}}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên ∆ ABCvuông tại C.
⇒ $AC=AB.\cos \alpha =2R\cos \alpha .~$
⇒ $AH=AC.\cos \alpha =2R\cos \alpha .\cos \alpha =2Rco{{s}^{2}}\alpha $, $CH=AC.\sin \alpha =2R\cos \alpha \sin \alpha .~$
Thể tích khối nón tạo thành là:
$V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=~\dfrac{1}{3}\pi {{\left( 2R\cos \alpha \sin \alpha \right)}^{2}}.2Rco{{s}^{2}}\alpha $
$=\dfrac{8\pi }{3}{{R}^{3}}co{{s}^{4}}\alpha si{{n}^{2}}\alpha =\dfrac{8\pi {{R}^{3}}}{3}co{{s}^{4}}\alpha \left( 1-co{{s}^{2}}\alpha \right).~$
Đặt $t=co{{s}^{2}}\alpha $, do $0<\alpha <{{90}^{0}}$ nên $0<t<1.~$
Khi đó $co{{s}^{4}}\alpha \left( 1-co{{s}^{2}}\alpha \right)={{t}^{2}}\left( 1-t \right).~$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}\left( 1-t \right)={{t}^{2}}-{{t}^{3}}$ với $0<t<1$ ta có: $f'\left( t \right)=2t-3{{t}^{2}}$
$f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.~$
BBT:

Từ BBT suy ra ${{V}_{max}}\Leftrightarrow t=\dfrac{2}{3}~$
$\Rightarrow co{{s}^{2}}x=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow 1+ta{{n}^{2}}\alpha =\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \tan x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ (Do $0<\alpha <{{90}^{0}}$ nên tan $\alpha >0$ )
Vậy $\alpha =arc\tan \dfrac{1}{\sqrt{2}}.~$