Google
Câu hỏi: Cho nửa đường tròn đường kính $A B=4 \mathrm{~cm}$, điểm $M$ di động trên nửa đường tròn đó. Gọi $\mathrm{d}$ là tiếp tuyến với nửa đường tròn tại $M$, $d$ cắt các tiếp tuyến của nửa đường tròn tại $A,B$ lần lượt tại $D,C$. Khi quay tứ giác $ABCD$ quanh trục $AB$ ta được một vật thể tròn xoay có thể tích nhỏ nhất là
A. $16 \pi \mathrm{cm}^{3}$.
B. $\dfrac{16 \pi}{3} \mathrm{~cm}^{3}$.
C. $32 \pi \mathrm{cm}^{3}$.
D. $\dfrac{32 \pi}{3} \mathrm{~cm}^{3}$.
$ABCD$ là hình thang vuông. Thể tích của khối tròn xoay nhỏ nhất khi hình thang $ABCD$ có diện tích nhỏ nhất ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{AB}{2}\left( AD+BC \right)$
Ta chứng minh được $AD+BC=CD$
Vì $DA=DM$ do $\Delta DAO=\Delta DMO$ (c.g.c). $DO$ chung, $\widehat{DAO}=\widehat{DMO}$, $OA=OM$.
Tương tự ta chứng minh được $CM=CB$.
Từ đó $AD+BC=DM+CM=CD$.
${{S}_{ABCD}}=\dfrac{AB}{2}\left( AD+BC \right)=2\left( AD+BC \right)=2CD\ge 2AB$. Dó đó ${{S}_{ABCD}}$ nhỏ nhất khi $CD=AB=4$. Khí đó
Giả sử $M$ là trung điểm của $CD$. $ABCD$ là hình chữ nhật. Khi quay quanh AB tạo thành hình trụ có bán kính $r=OM=2cm,l=4cm$.
Khi đó thể tích khối trụ bằng $V=\pi {{r}^{2}}l=\pi 4.4=16\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$.
A. $16 \pi \mathrm{cm}^{3}$.
B. $\dfrac{16 \pi}{3} \mathrm{~cm}^{3}$.
C. $32 \pi \mathrm{cm}^{3}$.
D. $\dfrac{32 \pi}{3} \mathrm{~cm}^{3}$.
Ta chứng minh được $AD+BC=CD$
Vì $DA=DM$ do $\Delta DAO=\Delta DMO$ (c.g.c). $DO$ chung, $\widehat{DAO}=\widehat{DMO}$, $OA=OM$.
Tương tự ta chứng minh được $CM=CB$.
Từ đó $AD+BC=DM+CM=CD$.
${{S}_{ABCD}}=\dfrac{AB}{2}\left( AD+BC \right)=2\left( AD+BC \right)=2CD\ge 2AB$. Dó đó ${{S}_{ABCD}}$ nhỏ nhất khi $CD=AB=4$. Khí đó
Giả sử $M$ là trung điểm của $CD$. $ABCD$ là hình chữ nhật. Khi quay quanh AB tạo thành hình trụ có bán kính $r=OM=2cm,l=4cm$.
Khi đó thể tích khối trụ bằng $V=\pi {{r}^{2}}l=\pi 4.4=16\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$.
Đáp án A.