Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $5C_{n}^{n-1}-C_{n}^{3}=0.$...

Phương pháp:
- Sử dụng công thức $C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{k!\left( n-k \right)!}$ giải phương trình tìm $n.$
- Khai triển nhị thức Niu-tơn: ${{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{2}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}.}$
Cách giải:
Ta có:
$5C_{n}^{n-1}-C_{n}^{3}=0\Leftrightarrow \dfrac{5n!}{\left( n-1 \right)!}=\dfrac{n!}{3!\left( n-3 \right)!}$
$\Leftrightarrow \dfrac{5}{\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}=\dfrac{1}{6}\Leftrightarrow {{n}^{2}}-3n+2=30$
$\Leftrightarrow {{n}^{2}}-3n-28=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=7\left( tm \right) \\
& n=-4\left( ktm \right) \\
\end{aligned} \right.$
Với $n=7$ ta có ${{\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}-\dfrac{1}{x} \right)}^{7}}=\sum\limits_{k=0}^{7}{C_{7}^{k}{{\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right)}^{k}}{{\left( -\dfrac{1}{x} \right)}^{7-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{7}{C_{n}^{k}{{\left( -1 \right)}^{7-k}}{{.2}^{-k}}.{{x}^{3k-7}}}$
Do đó số hạng chứa ${{x}^{5}}$ ứng với $3k-7=5\Leftrightarrow k=4.$
Vậy hệ số của số hạng chứa ${{x}^{5}}$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn đã cho là $C_{7}^{4}{{\left( -1 \right)}^{3}}{{.2}^{-4}}=-\dfrac{35}{16}.$