Google
Câu hỏi: : Cho $n$ là số nguyên dương sao cho $\dfrac{1}{{{\log }_{2020}}x}+\dfrac{1}{{{\log }_{{{2020}^{2}}}}x}+\dfrac{1}{{{\log }_{{{2020}^{3}}}}x}+...+\dfrac{1}{{{\log }_{{{2020}^{n}}}}x}=\dfrac{210}{{{\log }_{2020}}x}$ đúng với mọi $x$ dương, $x\ne 1.$ Tính giá trị của biểu thức $P=3n+4.$
A. $P=16.$
B. $P=61.$
C. $P=46.$
D. $P=64.$
A. $P=16.$
B. $P=61.$
C. $P=46.$
D. $P=64.$
Ta có $\dfrac{1}{{{\log }_{2020}}x}+\dfrac{1}{{{\log }_{{{2020}^{2}}}}x}+\dfrac{1}{{{\log }_{{{2020}^{3}}}}x}+...+\dfrac{1}{{{\log }_{{{2020}^{n}}}}x}=\dfrac{210}{{{\log }_{2020}}x}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\log }_{2020}}x}+\dfrac{2}{{{\log }_{2020}}x}+\dfrac{3}{{{\log }_{2020}}x}+...+\dfrac{n}{{{\log }_{2020}}x}=\dfrac{210}{{{\log }_{2020}}x}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1+2+3+...+n}{{{\log }_{2020}}n}=\dfrac{210}{{{\log }_{2020}}x}$
$\Leftrightarrow 1+2+3+...+n=210$
$\Leftrightarrow \dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}=210\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-420=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=20 \\
& n=-21 \\
\end{aligned} \right.$
Vì $n$ là số nguyên dương nên $n=20$
Vậy $P=3n+4=64.$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\log }_{2020}}x}+\dfrac{2}{{{\log }_{2020}}x}+\dfrac{3}{{{\log }_{2020}}x}+...+\dfrac{n}{{{\log }_{2020}}x}=\dfrac{210}{{{\log }_{2020}}x}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1+2+3+...+n}{{{\log }_{2020}}n}=\dfrac{210}{{{\log }_{2020}}x}$
$\Leftrightarrow 1+2+3+...+n=210$
$\Leftrightarrow \dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}=210\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-420=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=20 \\
& n=-21 \\
\end{aligned} \right.$
Vì $n$ là số nguyên dương nên $n=20$
Vậy $P=3n+4=64.$
Đáp án D.