Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh $6 (c m) .$ Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Trong đó $AE=2\left(cm \right), AH=x\left(...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh

6 (c m) .

Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ.

Trong đó

A E = 2 (c m), A H = x (c m), C F = 3 (c m), C G = y (c m) .

Tìm tổng

x + y

để diện tích hình thang

E F G H

đạt giá trị nhỏ nhất.
A.

x + y = 7.

B.

x + y = 5.

C.

x + y = \frac{7 \sqrt{2}}{2} .

D.

x + y = 4 \sqrt{2} .

Hai tam giác

A H E

và

C F G

đồng dạng suy ra:

\frac{C G}{A E} = \frac{C F}{A H} \Leftrightarrow \frac{y}{2} = \frac{3}{x} \Leftrightarrow x y = 6.

Ta có:

S_{E F G H} = S_{A B C D} - S_{A H E} - S_{B E F} - S_{C F G} - S_{D G H}

= 36 - \frac{1}{2} .2 x - \frac{1}{2} .4 .3 - \frac{1}{2} .3 . y - \frac{1}{2} . (6 - x) . (6 - y)

= 36 - x - 6 - \frac{3}{2} . y - \frac{1}{2} . (36 - 6 (x + y) + x y)

= 36 - x - 6 - \frac{3}{2} . y - \frac{1}{2} . (36 - 6 (x + y) + 6) = 9 + 2 x + \frac{3}{2} y

Với

y = \frac{6}{x},

ta có:

S_{E F G H} = 9 + 2 x + \frac{9}{x} .

Xét hàm số

f (x) = 9 + 2 x + \frac{9}{x},

trên khoảng

(0; 6)

ta có:

f^{'} (x) = 2 - \frac{9}{x^{2}},

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{9}{x^{2}} = 0 \Rightarrow x = \frac{3 \sqrt{2}}{2} .

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra:

{min}_{S_{E F G H}} = min_{(0; 6)} f (x) = 9 + 6 \sqrt{2}

khi

x = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \Rightarrow y = 2 \sqrt{2} .

Vậy

x + y = \frac{7 \sqrt{2}}{2} .

Đáp án C.

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6(cm). Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Trong đó $AE=2\left(cm \right), AH=x\left(...