Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh $6\left( cm \right).$ Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Trong đó $AE=2\left(cm \right), AH=x\left(...

Hai tam giác $AHE$ và $CFG$ đồng dạng suy ra: $\dfrac{CG}{AE}=\dfrac{CF}{AH}\Leftrightarrow \dfrac{y}{2}=\dfrac{3}{x}\Leftrightarrow xy=6.$
Ta có: ${{S}_{EFGH}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{AHE}}-{{S}_{BEF}}-{{S}_{CFG}}-{{S}_{DGH}}$
$=36-\dfrac{1}{2}.2x-\dfrac{1}{2}.4.3-\dfrac{1}{2}.3.y-\dfrac{1}{2}.\left( 6-x \right).\left( 6-y \right)$
$=36-x-6-\dfrac{3}{2}.y-\dfrac{1}{2}.\left( 36-6\left( x+y \right)+xy \right)$
$=36-x-6-\dfrac{3}{2}.y-\dfrac{1}{2}.\left( 36-6\left( x+y \right)+6 \right)=9+2x+\dfrac{3}{2}y$
Với $y=\dfrac{6}{x},$ ta có: ${{S}_{EFGH}}=9+2x+\dfrac{9}{x}.$
Xét hàm số $f\left( x \right)=9+2x+\dfrac{9}{x},$ trên khoảng $\left( 0;6 \right)$ ta có: $f'\left( x \right)=2-\dfrac{9}{{{x}^{2}}},$ $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2-\dfrac{9}{{{x}^{2}}}=0\Rightarrow x=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.$
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra: ${{\min }_{{{S}_{EFGH}}}}=\underset{\left( 0;6 \right)}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=9+6\sqrt{2}$ khi $x=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\Rightarrow y=2\sqrt{2}.$
Vậy $x+y=\dfrac{7\sqrt{2}}{2}.$