Google
Câu hỏi: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh $1 m$ như hình vẽ dưới đây. Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $x \left( m \right)$, sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành bốn đỉnh của hình chóp. Giá trị của $x$ để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất là
A. $x=\dfrac{2\sqrt{2}}{5}$.
B. $x=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$.
C. $x=\dfrac{1}{2}$.
D. $x=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$.
Độ dài đường chéo tấm nhôm bằng $\sqrt{2} \left( m \right)$
Gọi hình chóp tứ giác đều là $S.ABCD$, $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,CD$
Khi đó $MN=x\left( m \right)$, $SN=\dfrac{\sqrt{2}-x}{2}\left( m \right)$ với $0<x<\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Gọi $O$ là tâm của hình vuông, ta có
$SO=\sqrt{S{{N}^{2}}-O{{N}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{\sqrt{2}-x}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2-2\sqrt{2}x}$
Thể tích khối chóp $V=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SO=\dfrac{1}{6}{{x}^{2}}\sqrt{2-2\sqrt{2}x}$
Ta có $V'=\dfrac{x\left( 4-5\sqrt{2}x \right)}{6\sqrt{2-2\sqrt{2}x}}$, $V'=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2\sqrt{2}}{5}$ với $0<x<\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Bảng biến thiên
Vậy khi $x=\dfrac{2\sqrt{2}}{5}$ thì thể tích khối chóp nhận được là lớn nhất.
B. $x=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$.
C. $x=\dfrac{1}{2}$.
D. $x=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$.
Gọi hình chóp tứ giác đều là $S.ABCD$, $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,CD$
Khi đó $MN=x\left( m \right)$, $SN=\dfrac{\sqrt{2}-x}{2}\left( m \right)$ với $0<x<\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Gọi $O$ là tâm của hình vuông, ta có
$SO=\sqrt{S{{N}^{2}}-O{{N}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{\sqrt{2}-x}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2-2\sqrt{2}x}$
Thể tích khối chóp $V=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SO=\dfrac{1}{6}{{x}^{2}}\sqrt{2-2\sqrt{2}x}$
Ta có $V'=\dfrac{x\left( 4-5\sqrt{2}x \right)}{6\sqrt{2-2\sqrt{2}x}}$, $V'=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2\sqrt{2}}{5}$ với $0<x<\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Bảng biến thiên
Đáp án A.