Google
Câu hỏi: Cho một hình trụ và một hình lập phương có cùng chiều cao, đường tròn đáy của hìnhtrụ là đường tròn ngoại tiếp đáy của hình lập phương. Tính tỉ số thể tích của khối trụ và khối lập phương đó
A. $\dfrac{\pi }{4}$
B. $\dfrac{\pi }{2}$
C. $2\pi $
D. $\pi $
A. $\dfrac{\pi }{4}$
B. $\dfrac{\pi }{2}$
C. $2\pi $
D. $\pi $
Phương pháp:
- Hình vuông cạnh $a$ có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
- Thể tích khối trụ có chiều cao $h$ bán kính đáy $R$ là $V=\pi {{R}^{2}}h.$
- Thể tích khối lập phương cạnh $a$ là $V={{a}^{3}}.$
Cách giải:
Giả sử hình lập phương có cạnh $a\Rightarrow $ Hình trụ có chiều cao $h=a.$
Vì đường tròn đáy của hình trụ là đường tròn ngoại tiếp đáy của hình lập phương nên hình trụ có bán kính đáy $R=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Thể tích khối trụ là $V=\pi {{R}^{2}}h=\pi .{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}.a=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{4}.$
Thể tích khối lập phương là $V'={{a}^{3}}.$
Vậy tỉ số thể tích của khối trụ và khối lập phương đó là $\dfrac{V}{V'}=\dfrac{\pi }{4}.$
- Hình vuông cạnh $a$ có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
- Thể tích khối trụ có chiều cao $h$ bán kính đáy $R$ là $V=\pi {{R}^{2}}h.$
- Thể tích khối lập phương cạnh $a$ là $V={{a}^{3}}.$
Cách giải:
Giả sử hình lập phương có cạnh $a\Rightarrow $ Hình trụ có chiều cao $h=a.$
Vì đường tròn đáy của hình trụ là đường tròn ngoại tiếp đáy của hình lập phương nên hình trụ có bán kính đáy $R=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Thể tích khối trụ là $V=\pi {{R}^{2}}h=\pi .{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}.a=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{4}.$
Thể tích khối lập phương là $V'={{a}^{3}}.$
Vậy tỉ số thể tích của khối trụ và khối lập phương đó là $\dfrac{V}{V'}=\dfrac{\pi }{4}.$
Đáp án A.