Cho một hình trụ thay đổi nội tiếp trong một hình nón cố định cho trước (tham khảo hình vẽ bên). Gọi thể tích các khối nón và khối trụ tương ứng...

Phương pháp giải:
- Đặt chiều cao khối trụ là $\left( 0<x<h \right)$.
- Áp dụng định lí Ta-lét, tính bán kính đáy hình trụ theo x.
- Tính thể tích khối trụ, sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN của V', từ đó suy ra x theo h.
- Lập và tính tỉ số $\dfrac{{{V}'}}{V}$
Giải chi tiết:

Đặt tên các điểm như hình vẽ.
Gọi $h,r$ lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình nón.
Đặt $IO=MQ=NP=x$ $\left( 0<x<h \right)$.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
$\dfrac{MQ}{SO}=\dfrac{AQ}{AS}=1-\dfrac{SQ}{SA}=1-\dfrac{QI}{OA}$ $\Rightarrow \dfrac{x}{h}=1-\dfrac{IQ}{r}\Rightarrow IQ=\left( 1-\dfrac{x}{h} \right)r$
Khi đó thể tích khối nón là ${V}'=\pi .I{{Q}^{2}}.QM=\pi .{{r}^{2}}{{\left( 1-\dfrac{x}{h} \right)}^{2}}.x=\dfrac{\pi {{r}^{2}}}{{{h}^{2}}}.x{{\left( x-h \right)}^{2}}$.
Để ${V}'$ đạt giá trị lớn nhất thì $x{{\left( x-h \right)}^{2}}$ phải đạt giá trị lớn nhất.
Đặt $f\left( x \right)=x{{\left( x-h \right)}^{2}}=x\left( {{x}^{2}}-2hx+{{h}^{2}} \right)={{x}^{3}}-2h{{x}^{2}}+{{h}^{2}}x$, với $0<x<h$ ta có:
${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-4hx+{{h}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=h\left( ktm \right) \\
x=\dfrac{1}{3}h\left( tm \right) \\
\end{array} \right.$
$\Rightarrow {{{V}'}_{\max }}=\dfrac{\pi {{r}^{2}}}{{{h}^{2}}}.\dfrac{1}{3}h{{\left( \dfrac{1}{3}h-h \right)}^{2}}=\dfrac{4}{27}\pi {{r}^{2}}h$
Vậy khi đó $\dfrac{{{V}'}}{V}=\dfrac{\dfrac{4}{27}\pi {{r}^{2}}h}{\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h}=\dfrac{4}{9}$.