Google
Câu hỏi: Cho một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng 1. Tính thể tích khối càu nội tiếp trong hình nón.
A. $\dfrac{\pi }{6}$
B. $\dfrac{4\sqrt{3}\pi }{27}$
C. $\dfrac{4\pi }{81}$
D. $\dfrac{\sqrt{3}\pi }{54}$
A. $\dfrac{\pi }{6}$
B. $\dfrac{4\sqrt{3}\pi }{27}$
C. $\dfrac{4\pi }{81}$
D. $\dfrac{\sqrt{3}\pi }{54}$
Phương pháp giải:
- Giả sử thiết diện qua trục là tam giác SAB và O là tâm mặt đáy của hình nón.
- Xác định tâm mặt cầu nội tiếp hình nón chính là tâm tam giác đều SAB. Tính bán kính R.
- Thể tích khối cầu bán kính R là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}$.
Giải chi tiết:
Giả sử thiết diện qua trục là tam giác SAB và O là tâm mặt đáy của hình nón, ta có tam giác SAB đều cạnh 1 nên $SO=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Gọi I là tâm khối cầu nội tiếp trong hình nón, dễ thấy O chính là tâm tam giác đều SAB, do đó bán kính khối cầu là $R=IO=\dfrac{2}{3}SO=\dfrac{2}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Vậy thể tích khối cầu nội tiếp trong hình nón là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}\pi }{27}$.
- Giả sử thiết diện qua trục là tam giác SAB và O là tâm mặt đáy của hình nón.
- Xác định tâm mặt cầu nội tiếp hình nón chính là tâm tam giác đều SAB. Tính bán kính R.
- Thể tích khối cầu bán kính R là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}$.
Giải chi tiết:
Giả sử thiết diện qua trục là tam giác SAB và O là tâm mặt đáy của hình nón, ta có tam giác SAB đều cạnh 1 nên $SO=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Gọi I là tâm khối cầu nội tiếp trong hình nón, dễ thấy O chính là tâm tam giác đều SAB, do đó bán kính khối cầu là $R=IO=\dfrac{2}{3}SO=\dfrac{2}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Vậy thể tích khối cầu nội tiếp trong hình nón là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}\pi }{27}$.
Đáp án B.