Google
Câu hỏi: Cho một hình nón có chiều cao h = $a\sqrt{3}$ và bán kính đáy r = 2a. Mặt phẳng (P) đi qua S cắt đường tròn đáy tại A và Bsao cho AB= 2a $\sqrt{2}$. Tính khoảng cách d từ tâm của đường tròn đáy đến (P).
A. $d=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$
B. $d=\dfrac{6a}{\sqrt{5}}$
C. $d=\dfrac{a\sqrt{5}}{30}$
D. $d=\dfrac{a\sqrt{6}}{5}$
Gọi Ilà trung điểm AB. Kẻ OH⊥SI vuông góc với SItại H .
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OI \\
& AB\bot SO \\
& OI\cap SO=O \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SOI \right)\Rightarrow AB\bot OH~$
$\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot SI \\
& OH\bot AB \\
& SI\cap AB=I \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OH\bot \left( SAB \right)~$ tại H .
Suy ra $d\left( O,\left( P \right) \right)=d\left( O,\left( SAB \right) \right)=OH.$
Tam giác SOI vuông tại O và OH là đường cao, nên ta có
$\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}$
$\left\{ \begin{aligned}
& OS=h=a\sqrt{3} \\
& OI=\sqrt{{{r}^{2}}-A{{I}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}}=a\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{6{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$
A. $d=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$
B. $d=\dfrac{6a}{\sqrt{5}}$
C. $d=\dfrac{a\sqrt{5}}{30}$
D. $d=\dfrac{a\sqrt{6}}{5}$
Gọi Ilà trung điểm AB. Kẻ OH⊥SI vuông góc với SItại H .
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OI \\
& AB\bot SO \\
& OI\cap SO=O \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SOI \right)\Rightarrow AB\bot OH~$
$\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot SI \\
& OH\bot AB \\
& SI\cap AB=I \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OH\bot \left( SAB \right)~$ tại H .
Suy ra $d\left( O,\left( P \right) \right)=d\left( O,\left( SAB \right) \right)=OH.$
Tam giác SOI vuông tại O và OH là đường cao, nên ta có
$\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}$
$\left\{ \begin{aligned}
& OS=h=a\sqrt{3} \\
& OI=\sqrt{{{r}^{2}}-A{{I}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}}=a\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{6{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$
Đáp án A.