Google
Câu hỏi: Cho một đa giác đều gồm $2n$ đỉnh $\left( n\ge 2, n\in \mathbb{N} \right)$. Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số $2n$ đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là $\dfrac{1}{5}$. Tìm $n$
A. $n=4$.
B. $n=10$.
C. $n=8$.
D. $n=6$.
A. $n=4$.
B. $n=10$.
C. $n=8$.
D. $n=6$.
Phương pháp:
Sử dụng tổ hợp.
Cách giải:
Đa giác đều có 2nđỉnh nên có ít nhất 1 đường thẳng đối xứng.
Chọn 2 đỉnh trong nđỉnh rồi lấy đối xứng qua đường thẳng trên ta được một hình chữ nhật.
Hình chữ nhật vừa lập có 4 tam giác vuông.
Do đó số tam giác vuông của đa giác là 4 $C_{n}^{2}$
Theo giả thiết ta có xác suất 3 đỉnh tạo thành một tam giác vuông là $\dfrac{1}{5}$.
Nên ta có:
$\dfrac{4C_{n}^{2}}{C_{2n}^{3}}=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow \dfrac{4\dfrac{n!}{2!\left( n-2 \right)!}}{\dfrac{\left( 2n \right)!}{3!\left( 2n-3 \right)}}=\dfrac{1}{5}$
$\Leftrightarrow \dfrac{2n\left( n-1 \right).6}{2n\left( 2n-1 \right)\left( 2n-2 \right)}=\dfrac{1}{5}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3}{2n-1}=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow 2n-1=15\Leftrightarrow n=8$
Sử dụng tổ hợp.
Cách giải:
Đa giác đều có 2nđỉnh nên có ít nhất 1 đường thẳng đối xứng.
Chọn 2 đỉnh trong nđỉnh rồi lấy đối xứng qua đường thẳng trên ta được một hình chữ nhật.
Hình chữ nhật vừa lập có 4 tam giác vuông.
Do đó số tam giác vuông của đa giác là 4 $C_{n}^{2}$
Theo giả thiết ta có xác suất 3 đỉnh tạo thành một tam giác vuông là $\dfrac{1}{5}$.
Nên ta có:
$\dfrac{4C_{n}^{2}}{C_{2n}^{3}}=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow \dfrac{4\dfrac{n!}{2!\left( n-2 \right)!}}{\dfrac{\left( 2n \right)!}{3!\left( 2n-3 \right)}}=\dfrac{1}{5}$
$\Leftrightarrow \dfrac{2n\left( n-1 \right).6}{2n\left( 2n-1 \right)\left( 2n-2 \right)}=\dfrac{1}{5}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3}{2n-1}=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow 2n-1=15\Leftrightarrow n=8$
Đáp án C.