Cho mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+2z+1=0$ và $A\left( 0;0;1...

Gọi $I,\ H$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $A,\ B$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$.
$\Delta $ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $\left( P \right)$ $\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=2t \\
& z=1+2t \\
\end{aligned} \right.;t\in \mathbb{R}$.
$I\in \Delta \Rightarrow I\left( t;2t;1+2t \right),\ I\in \left( P \right)$ tìm được $t=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow I\left( -\dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3} \right)$.
${\Delta }'$ là đường thẳng đi qua $B$ và vuông góc với $\left( P \right)$ $\Rightarrow {\Delta }':\left\{ \begin{aligned}
& x=2+m \\
& y=3+2m \\
& z=7+2m \\
\end{aligned} \right.;m\in \mathbb{R}$.
$H\in {\Delta }'\Rightarrow H\left( 2+m;3+2m;7+2m \right),\ H\in \left( P \right)$ tìm được $m=-\dfrac{23}{9}\Rightarrow H\left( -\dfrac{5}{9};\dfrac{19}{9};\dfrac{17}{9} \right)$.
Vậy hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng $B$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$ có độ dài là: $IH=\dfrac{\sqrt{41}}{3}$.
Cách 2: (gvpb)
Ta có hai điểm $A,B$ nằm cùng phía đối với mặt phẳng $\left( P \right)$. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A,B$ lên $\left( P \right)$. Gọi $I$ là hình chiếu của $A$ lên $BK.$ Khi đó
$d\left( A,\left( P \right) \right)=1;d\left( B,\left( P \right) \right)=\dfrac{23}{3}$.
Gọi $I$ là hình chiếu của $A$ lên $BK.$ Khi đó
$HK=AI=\sqrt{A{{B}^{2}}-{{(BK-AH)}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+{{6}^{2}}-{{\left( \dfrac{23}{3}-1 \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{41}}{3}$