Cho mặt cầu ( )Scó bán kính R= akhông đổi. Hình nón ( )Nthay đổi...

Phương pháp:
- Thể tích của khối cầu có bán kính Rlà $V=\dfrac{4}{3\pi {{R}^{3}}}$
- Thể tích của khối nón có bán kính đáy rvà chiều cao hlà $V=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h$
- Dựa vào định lí Pytago tìm mối liên hệ giữa R, r, hđể giải bài toán.
- Tính tỉ số thể tích của khối nón và khối cầu.
Cách giải:
Thể tích của khối cầu (S)là: $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{a}^{3}}$
Gọi ,h rlần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình nón đã cho.
Khi đó, thể tích của khối nón (N)là ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$

Ta có:
$\begin{aligned}
& \dfrac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=\dfrac{19}{8}\Rightarrow {{V}_{2}}=\dfrac{19}{8}{{V}_{1}} \\
& V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}\Leftrightarrow V={{V}_{1}}+\dfrac{19}{8}{{V}_{1}}\Leftrightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{8}{27}V \\
& \Rightarrow \dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{8}{27}.\dfrac{4}{3}\pi {{a}^{3}} \\
& {{r}^{2}}h=\dfrac{32}{27}{{a}^{3}}\Leftrightarrow {{r}^{2}}=\dfrac{32{{a}^{3}}}{27h} \\
\end{aligned}$
Khối nón (N)nội tiếp khối cầu (S)mà h> Rnên ta có:
${{\left( h-R \right)}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}$ (định lí Pytago) ​
$\begin{aligned}
& \begin{array}{*{35}{l}}
\Leftrightarrow {{h}^{2}}-2hR+{{R}^{2}}+{{r}^{2}}=~R{{~}^{2}} \\
\Leftrightarrow {{h}^{2}}-2h{{a}_{.}}+r{{~}^{2}}~=0 \\
\Leftrightarrow {{h}^{2}}~-2ha+\dfrac{32{{a}^{3}}}{27h}=0 \\
\Leftrightarrow 27{{h}^{3}}-54{{h}^{2}}a+32{{a}^{3}}=0~ \\
\end{array} \\
& \Leftrightarrow 27{{\left( \dfrac{h}{a} \right)}^{3}}-54.{{\left( \dfrac{h}{a} \right)}^{2}}+32=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{h}{a}=-\dfrac{2}{3}\left( {{_{ktmdoh}}_{,a>0}} \right) \\
& \dfrac{h}{a}=\dfrac{4}{3}\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \dfrac{h}{a}=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow h=\dfrac{4}{3}a\Rightarrow r=\dfrac{2\sqrt{2}a}{3} \\
\end{aligned}$
Vậy bán kính của hình nón (N)là $r=\dfrac{2\sqrt{2}a}{3}$