Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu $\left( \xi \right)$ có bán kính không đổi $R.$ Một hình chóp lục giác đều $S.ABCDEF$ nội tiếp mặt cầu $\left( \xi \right)$. Tìm giá trị lớn nhất ${{V}_{\max }}$ của thể tích khối chóp $S.ABCDEF.$
A. ${{V}_{\max }}=\dfrac{8\sqrt{3}{{R}^{3}}}{9}$
B. ${{V}_{\max }}=\dfrac{16\sqrt{3}{{R}^{3}}}{27}$
C. ${{V}_{\max }}=\dfrac{8\sqrt{3}{{R}^{3}}}{27}$
D. ${{V}_{\max }}=\dfrac{3\sqrt{3}{{R}^{3}}}{8}$
A. ${{V}_{\max }}=\dfrac{8\sqrt{3}{{R}^{3}}}{9}$
B. ${{V}_{\max }}=\dfrac{16\sqrt{3}{{R}^{3}}}{27}$
C. ${{V}_{\max }}=\dfrac{8\sqrt{3}{{R}^{3}}}{27}$
D. ${{V}_{\max }}=\dfrac{3\sqrt{3}{{R}^{3}}}{8}$
Cách giải:
Gọi $H$ là tâm lục giác đều $ABCDEF\Rightarrow SH\bot \left( ABCDEF \right)$ và gọi $O$ là tâm mặt cầu.
Đặt $SH=h\left( R<h<2R \right)\Rightarrow OH=h-R.$
Áp dụng định lí Pytago ta có: $H{{E}^{2}}=O{{E}^{2}}-O{{H}^{2}}={{R}^{2}}-{{\left( h-R \right)}^{2}}.$
Mà ${{S}_{ABCDEF}}=6{{S}_{HFE}}=6.\dfrac{H{{E}^{2}}.\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left( {{R}^{2}}-{{\left( h-R \right)}^{2}} \right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left( 2Rh-{{h}^{2}} \right).$
$\Rightarrow {{V}_{SABCDEF}}=\dfrac{1}{3}.h.{{S}_{ABCDEF}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.h.\left( 2Rh-{{h}^{2}} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left( 2R{{h}^{2}}-{{h}^{3}} \right)$
Đặt $g\left( x \right)=2R{{h}^{2}}-{{h}^{3}}$ ta có: $g'\left( x \right)=4Rh-3{{h}^{2}}=0\Leftrightarrow h=\dfrac{4R}{3}.$
$\Rightarrow \underset{\left( R;2R \right)}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( \dfrac{4R}{3} \right)=2R\dfrac{16{{R}^{2}}}{9}-\dfrac{64{{R}^{3}}}{27}=\dfrac{32}{27}{{R}^{3}}$
Vậy $\max {{V}_{SABCDEF}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{32}{27}{{R}^{3}}=\dfrac{16\sqrt{3}{{R}^{3}}}{27}.$
Gọi $H$ là tâm lục giác đều $ABCDEF\Rightarrow SH\bot \left( ABCDEF \right)$ và gọi $O$ là tâm mặt cầu.
Đặt $SH=h\left( R<h<2R \right)\Rightarrow OH=h-R.$
Áp dụng định lí Pytago ta có: $H{{E}^{2}}=O{{E}^{2}}-O{{H}^{2}}={{R}^{2}}-{{\left( h-R \right)}^{2}}.$
Mà ${{S}_{ABCDEF}}=6{{S}_{HFE}}=6.\dfrac{H{{E}^{2}}.\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left( {{R}^{2}}-{{\left( h-R \right)}^{2}} \right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left( 2Rh-{{h}^{2}} \right).$
$\Rightarrow {{V}_{SABCDEF}}=\dfrac{1}{3}.h.{{S}_{ABCDEF}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.h.\left( 2Rh-{{h}^{2}} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left( 2R{{h}^{2}}-{{h}^{3}} \right)$
Đặt $g\left( x \right)=2R{{h}^{2}}-{{h}^{3}}$ ta có: $g'\left( x \right)=4Rh-3{{h}^{2}}=0\Leftrightarrow h=\dfrac{4R}{3}.$
$\Rightarrow \underset{\left( R;2R \right)}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( \dfrac{4R}{3} \right)=2R\dfrac{16{{R}^{2}}}{9}-\dfrac{64{{R}^{3}}}{27}=\dfrac{32}{27}{{R}^{3}}$
Vậy $\max {{V}_{SABCDEF}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{32}{27}{{R}^{3}}=\dfrac{16\sqrt{3}{{R}^{3}}}{27}.$
Đáp án B.