Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=20.$ Từ điểm $A\left( 0;0;-1 \right)$ kẻ các tiếp tuyến tới mặt cầu $\left( S \right)$ với các tiếp điểm nằm trên đường tròn $\left( C \right).$ Từ điểm $M$ di động ngoài mặt cầu $\left( S \right)$ nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $\left( C \right),$ kẻ các tiếp tuyến tới mặt cầu $\left( S \right)$ với các tiếp điểm nằm trên đường tròn $\left( C' \right).$ Biết rằng, khi bán kính đường tròn $\left( C' \right)$ gấp đôi bán kính đường tròn $\left( C \right)$ thì $M$ luôn nằm trên một đường tròn $\left( T \right)$ cố định. Bán kính đường tròn $\left( T \right)$ bằng.
A. $2\sqrt{21}.$
B. $\sqrt{34}.$
C. $\sqrt{10}.$
D. $5\sqrt{2}.$
A. $2\sqrt{21}.$
B. $\sqrt{34}.$
C. $\sqrt{10}.$
D. $5\sqrt{2}.$
Mặt cầu tâm $I\left( 0;0;4 \right)$ và bán kính $R=2\sqrt{5}$.
Ta có $\overrightarrow{IA}=\left( 0;0;-5 \right)\Rightarrow IA=5.$ Gọi $H$ là tâm đường tròn $\left( C \right)$ và $K$ là tiếp điểm của một tiếp tuyến kẻ từ $A$ ta có $AK=\sqrt{A{{I}^{2}}-I{{K}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}}=\sqrt{5}.$
Do đó bán kính đường tròn $\left( C \right)$ là: ${{r}_{C}}=HK=\dfrac{AK.IK}{AI}=\dfrac{\sqrt{5}.2\sqrt{5}}{5}=2.$
Vì bán kính đường tròn $\left( C' \right)$ gấp đôi bán kính đường tròn $\left( C \right)$ nên ta có ${{r}_{C}}=4\Rightarrow IM=10.$
Tam giác $IHK$ vuông tại $H$ nên $IH=\sqrt{I{{K}^{2}}-H{{K}^{2}}}=\sqrt{20-{{2}^{2}}}=4.$
$\Rightarrow HM=\sqrt{I{{M}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{{{10}^{2}}-{{4}^{2}}}=2\sqrt{21}.$
Do $H$ là tâm đường tròn $\left( C \right)$ cố định, $M$ di động nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ do đó $M$ thuộc đường tròn tâm $H$ bán kính $HM=2\sqrt{21}.$
Ta có $\overrightarrow{IA}=\left( 0;0;-5 \right)\Rightarrow IA=5.$ Gọi $H$ là tâm đường tròn $\left( C \right)$ và $K$ là tiếp điểm của một tiếp tuyến kẻ từ $A$ ta có $AK=\sqrt{A{{I}^{2}}-I{{K}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}}=\sqrt{5}.$
Do đó bán kính đường tròn $\left( C \right)$ là: ${{r}_{C}}=HK=\dfrac{AK.IK}{AI}=\dfrac{\sqrt{5}.2\sqrt{5}}{5}=2.$
Vì bán kính đường tròn $\left( C' \right)$ gấp đôi bán kính đường tròn $\left( C \right)$ nên ta có ${{r}_{C}}=4\Rightarrow IM=10.$
Tam giác $IHK$ vuông tại $H$ nên $IH=\sqrt{I{{K}^{2}}-H{{K}^{2}}}=\sqrt{20-{{2}^{2}}}=4.$
$\Rightarrow HM=\sqrt{I{{M}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{{{10}^{2}}-{{4}^{2}}}=2\sqrt{21}.$
Do $H$ là tâm đường tròn $\left( C \right)$ cố định, $M$ di động nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ do đó $M$ thuộc đường tròn tâm $H$ bán kính $HM=2\sqrt{21}.$
Đáp án A.