Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right),$ biết khoảng cách từ tâm của mặt cầu $\left( S \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng $a.$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi $2\sqrt{3}\pi a.$ Diện tích mặt cầu $\left( S \right)$ bằng
A. $12\pi {{a}^{2}}$
B. $16\pi {{a}^{2}}$
C. $4\pi {{a}^{2}}$
D. $8\pi {{a}^{2}}$
A. $12\pi {{a}^{2}}$
B. $16\pi {{a}^{2}}$
C. $4\pi {{a}^{2}}$
D. $8\pi {{a}^{2}}$
Phương pháp:
Áp dụng định lí Pytago: ${{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}$ với $R$ là bán kính hình cầu, $r$ là bán kính hình tròn, $d=d\left( I;\left( P \right) \right)$ với $I$ là tâm mặt cầu.
Diện tích mặt cầu bán kính $R$ là $S=4\pi {{R}^{2}}.$
Cách giải:
Gọi $r$ là bán kính của đường tròn giao tuyến, gọi $d$ là khoảng cách từ tâm của mặt cầu $\left( S \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right)\Rightarrow d=a.$
Đường tròn giao tuyến có chu vi $C=2\sqrt{3}\pi a=2\pi r\Rightarrow r=a\sqrt{3}.$
Áp dụng định lí Pytago ta có bán kính mặt cầu là $R=\sqrt{{{d}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=2a.$
Vậy diện tích mặt cầu là $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .{{\left( 2a \right)}^{2}}=16\pi {{a}^{2}}.$
Áp dụng định lí Pytago: ${{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}$ với $R$ là bán kính hình cầu, $r$ là bán kính hình tròn, $d=d\left( I;\left( P \right) \right)$ với $I$ là tâm mặt cầu.
Diện tích mặt cầu bán kính $R$ là $S=4\pi {{R}^{2}}.$
Cách giải:
Gọi $r$ là bán kính của đường tròn giao tuyến, gọi $d$ là khoảng cách từ tâm của mặt cầu $\left( S \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right)\Rightarrow d=a.$
Đường tròn giao tuyến có chu vi $C=2\sqrt{3}\pi a=2\pi r\Rightarrow r=a\sqrt{3}.$
Áp dụng định lí Pytago ta có bán kính mặt cầu là $R=\sqrt{{{d}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=2a.$
Vậy diện tích mặt cầu là $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .{{\left( 2a \right)}^{2}}=16\pi {{a}^{2}}.$
Đáp án B.