Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I$ đường kính $2a$ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn. Diện tích của hình tròn giới hạn bởi đường tròn đó bằng bao nhiêu biết rằng khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng $\dfrac{a}{2}$
A. $\dfrac{3\pi {{a}^{2}}}{4}$.
B. $\pi {{a}^{2}}\sqrt{15}$.
C. $\dfrac{15\pi {{a}^{2}}}{4}$.
D. $\dfrac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
A. $\dfrac{3\pi {{a}^{2}}}{4}$.
B. $\pi {{a}^{2}}\sqrt{15}$.
C. $\dfrac{15\pi {{a}^{2}}}{4}$.
D. $\dfrac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
Gọi $R$ là bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$, $r$ là bán kính đường tròn giao tuyến và $d$ là khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$, ta có:
${{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}\Rightarrow r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{2a}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy diện tích của hình tròn đó là: $S=\pi {{r}^{2}}=\dfrac{3\pi {{a}^{2}}}{4}$.
${{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}\Rightarrow r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{2a}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy diện tích của hình tròn đó là: $S=\pi {{r}^{2}}=\dfrac{3\pi {{a}^{2}}}{4}$.
Đáp án C.