Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=8$ và các điểm $A\left( 3;0;0 \right),B\left( 4;2;1 \right)$. Gọi $M$ là một điểm bất kì thuộc mặt cầu $\left( S \right)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $MA+2MB$ ?
A. $3\sqrt{2}$.
B. $2\sqrt{2}$.
C. $6\sqrt{2}$.
D. $4\sqrt{2}$.
A. $3\sqrt{2}$.
B. $2\sqrt{2}$.
C. $6\sqrt{2}$.
D. $4\sqrt{2}$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1;4;0 \right),R=2\sqrt{2}$.
Nhận thấy điểm $A,B$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$ và $\left\{ \begin{aligned}
& IA=4\sqrt{2} \\
& IB=\sqrt{30} \\
\end{aligned} \right.$.
Ta cần tìm điểm $C$ sao cho $MA=2MC$ với mọi điểm $M\in \left( S \right)$.
Lấy điểm $C\in IA$ sao cho $\Delta ICM\sim \Delta IMA$ suy ra $\dfrac{IM}{IA}=\dfrac{IC}{IM}\Leftrightarrow \dfrac{IC}{IA}=\dfrac{I{{M}^{2}}}{I{{A}^{2}}}=\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}.$
Do đó $\overrightarrow{IA}=4\overrightarrow{IC}$.
Gọi $C\left( a;b;c; \right)$ khi đó $\overrightarrow{IA}=\left( 4;-4;0 \right),\overrightarrow{IC}=\left( a+1;b-4;c \right)$ ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& 4=4\left( a+1 \right) \\
& -4=4\left( b-4 \right) \\
& 0=4c \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=3 \\
& c=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow C\left( 0;3;0 \right).$
Khi đó $MA+2MB=2\left( MA+MC \right)\ge 2BC=3\sqrt{2}$.
Dấu "=" xảy ra khi $M=BC\cap \left( S \right)$ và $M$ nằm giữa $B,C$.
Nhận thấy điểm $A,B$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$ và $\left\{ \begin{aligned}
& IA=4\sqrt{2} \\
& IB=\sqrt{30} \\
\end{aligned} \right.$.
Ta cần tìm điểm $C$ sao cho $MA=2MC$ với mọi điểm $M\in \left( S \right)$.
Lấy điểm $C\in IA$ sao cho $\Delta ICM\sim \Delta IMA$ suy ra $\dfrac{IM}{IA}=\dfrac{IC}{IM}\Leftrightarrow \dfrac{IC}{IA}=\dfrac{I{{M}^{2}}}{I{{A}^{2}}}=\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}.$
Do đó $\overrightarrow{IA}=4\overrightarrow{IC}$.
Gọi $C\left( a;b;c; \right)$ khi đó $\overrightarrow{IA}=\left( 4;-4;0 \right),\overrightarrow{IC}=\left( a+1;b-4;c \right)$ ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& 4=4\left( a+1 \right) \\
& -4=4\left( b-4 \right) \\
& 0=4c \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=3 \\
& c=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow C\left( 0;3;0 \right).$
Khi đó $MA+2MB=2\left( MA+MC \right)\ge 2BC=3\sqrt{2}$.
Dấu "=" xảy ra khi $M=BC\cap \left( S \right)$ và $M$ nằm giữa $B,C$.
Đáp án A.