Cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ , bán kính $R = 5 a$ . Gọi...

The Collectors · 14/3/22

Câu hỏi: Cho mặt cầu

(S)

có tâm

I

, bán kính

R = 5 a

. Gọi

A

là điểm bất kì thuộc mặt cầu, mặt phẳng di động

(P)

vuông góc với bán kính

I A

tại

H

và cắt mặt cầu

(S)

theo giao tuyến là đường tròn

(C)

. Khi đó thể tích lớn nhất của khối nón có đỉnh

I

, đáy là đường tròn

(C)

bằng
A.

\frac{125 π \sqrt{3}}{9} a^{3}

.
B.

\frac{125 π \sqrt{3}}{27} a^{3}

.
C.

\frac{250 π \sqrt{3}}{9} a^{3}

.
D.

\frac{250 π \sqrt{3} a^{3}}{27}

.

Giả sử

I H = x (0 < x < 5 a)

. Ta có, bán kính đường tròn

(C)

:

r = \sqrt{25 a^{2} - x^{2}}

Khi đó thể tích khối nón có đỉnh

I

, đáy là đường tròn

(C)

bằng

V_{(N)} = \frac{1}{3} π (25 a^{2} - x^{2}) x; (0 < x < 5 a)

.
Xét hàm số:

f (x) = 25 a^{2} x - x^{3} (0 < x < 5 a)

f^{'} (x) = 25 a^{2} - 3 x^{2}; f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5 \sqrt{3} a}{3}

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số

f (x)

trên

(0; 5 a)

ta thấy GTLN của hàm số đạt được khi

x = \frac{5 \sqrt{3} a}{3}

.
Vậy

max V_{N} = \frac{250 π \sqrt{3} a^{3}}{27}

.

Đáp án D.

Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R=5a. Gọi...