Google
Câu hỏi: Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$, bán kính $R=5a$. Gọi $A$ là điểm bất kì thuộc mặt cầu, mặt phẳng di động $\left( P \right)$ vuông góc với bán kính $IA$ tại $H$ và cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$. Khi đó thể tích lớn nhất của khối nón có đỉnh $I$, đáy là đường tròn $\left( C \right)$ bằng
A. $\dfrac{125\pi \sqrt{3}}{9}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{125\pi \sqrt{3}}{27}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{250\pi \sqrt{3}}{9}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{250\pi \sqrt{3}{{a}^{3}}}{27}$.
A. $\dfrac{125\pi \sqrt{3}}{9}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{125\pi \sqrt{3}}{27}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{250\pi \sqrt{3}}{9}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{250\pi \sqrt{3}{{a}^{3}}}{27}$.
Giả sử $IH=x\left( 0<x<5a \right)$. Ta có, bán kính đường tròn $\left( C \right)$ : $r=\sqrt{25{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$
Khi đó thể tích khối nón có đỉnh $I$, đáy là đường tròn $\left( C \right)$ bằng
${{V}_{(N)}}=\dfrac{1}{3}\pi \left( 25{{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)x;\left( 0<x<5a \right)$.
Xét hàm số:
$f(x)=25 a^{2} x-x^{3}(0<x<5 a)$
$f^{\prime}(x)=25 a^{2}-3 x^{2} ; f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{5 \sqrt{3} a}{3}$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ trên $\left( 0;5a \right)$ ta thấy GTLN của hàm số đạt được khi $x=\dfrac{5\sqrt{3}a}{3}$.
Vậy $\max {{V}_{N}}=\dfrac{250\pi \sqrt{3}{{a}^{3}}}{27}$.
Khi đó thể tích khối nón có đỉnh $I$, đáy là đường tròn $\left( C \right)$ bằng
${{V}_{(N)}}=\dfrac{1}{3}\pi \left( 25{{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)x;\left( 0<x<5a \right)$.
Xét hàm số:
$f(x)=25 a^{2} x-x^{3}(0<x<5 a)$
$f^{\prime}(x)=25 a^{2}-3 x^{2} ; f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{5 \sqrt{3} a}{3}$
Bảng biến thiên
Vậy $\max {{V}_{N}}=\dfrac{250\pi \sqrt{3}{{a}^{3}}}{27}$.
Đáp án D.